Задачи по теории вероятностей. Симушкин С.В - 143 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Преобразования случайных величин 143
f
η
(y) =
1
2
, если 0 6 y 6 1,
1
√
y
−
1
2
, если 1 6 y 6 4,
0, если y < 0 или x > 4.
-
x
f
6
0 1 4
-
1
2
Пример 7. Функция распределения случайной величины ξ
F (x) = A + B arctg x, −∞ < x < ∞.
Найти
а) неизвестные константы A, B;
б) плотность вероятностей случайной величины ξ ;
в) плотность вероятностей случайной величины η = ξ
2
.
Решение. а) Очевидно эта функция непрерывна всюду, а при
B > 0 она возрастает. Для нахождения неизвестных констант A
и B воспользуемся свойством F2) :
0 = lim
x→−∞
F (x) = A − B
π
2
,
1 = lim
x→∞
F (x) = A + B
π
2
.
Отсюда A =
1
2
, B =
1
π
и F (x) =
1
2
+
1
π
arctg(x).
б) Производная функции F всюду существует и равна
f(x) = F
0
(x) =
1
π (1 + x
2
)
, −∞ < x < ∞.
Поскольку, очевидно, имеет место обратное соотношение
F (x) =
R
x
−∞
f(t) dt , то эта производная и будет пл.в. распределе-
ния F. Из приведенной ниже таблицы видно, что эта пл.в. есть
плотность стандартного (то есть с параметрами µ = 0, σ
2
= 1 )
распределения Коши.
в) Преобразование h(x) = x
2
не является возрастающей всю-
ду функцией на носителе ξ, поэтому для нахождения пл.в. нам
сначала придется найти функцию распределения. Весь процесс по-
строения пл.в. с.в. η = ξ
2
опишем поэтапно.
                       Преобразования случайных величин                 143


                      1
                                                              f
                                                              6
             
                        ,   если 0 6 y 6 1,              1
                      2                                  2
  fη (y) =       √1    − 12 , если 1 6 y 6 4,
             
                  y                                                    -x
             
                       0,    если y < 0 или x > 4.            0 1   4

   Пример 7. Функция распределения случайной величины ξ
                 F (x) = A + B arctg x,         −∞ < x < ∞.

Найти
   а) неизвестные константы A, B;
   б) плотность вероятностей случайной величины ξ ;
   в) плотность вероятностей случайной величины η = ξ 2 .

   Решение. а) Очевидно эта функция непрерывна всюду, а при
B > 0 она возрастает. Для нахождения неизвестных констант A
и B воспользуемся свойством F2) :
             
              0 = lim F (x) = A − B π ,
                             x→−∞                    2
                   1 =       lim F (x) = A + B π2 .
                              x→∞

Отсюда A = 12 , B = π1 и F (x) = 12 + π1 arctg(x).
    б) Производная функции F всюду существует и равна
                                  1
           f (x) = F 0(x) =             , −∞ < x < ∞.
                             π (1 + x2)
    Поскольку, очевидно, имеет место обратное соотношение
        Rx
F (x) = −∞ f (t) dt , то эта производная и будет пл.в. распределе-
ния F. Из приведенной ниже таблицы видно, что эта пл.в. есть
плотность стандартного (то есть с параметрами µ = 0, σ 2 = 1 )
распределения Коши.
    в) Преобразование h(x) = x2 не является возрастающей всю-
ду функцией на носителе ξ, поэтому для нахождения пл.в. нам
сначала придется найти функцию распределения. Весь процесс по-
строения пл.в. с.в. η = ξ 2 опишем поэтапно.

Страницы