Элементы теории случайных процессов. Син Л.И. - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИСОиП ДГТУ | Шахты

Составители: 

Рубрика: 

10
∫
+∞
∞−
−
=
ττ
π
ω
ωτ
dkS
i
XX
e)(
1
)(
(8)
называется спектральной плотностью с.п. X(t).
Корреляционная функция k
X
(τ) выражается через спектральную плотность
при помощи обратного преобразования Фурье
∫
+∞
∞−
=
ωωτ
ωτ
dSk
i
XX
e)(
2
1
)(
. (9)
Соотношения (8) и (9) называется формулами Винера–Хинчина.
Свойства спектральной плотности стационарного с. п.
1)
)()(
ω
ω
XX
SS
=
−
− четность спектральной плотности.
2)
0)( ≥
ω
X
S .
3)
∫
+∞
=
0
)(
ωω
dSD
XX
.
Из-за четности функций k
X
(τ) и S
X
(ω) формулы (8) и (9) можно представить
в виде
∫
+
∞
=
0
,cos)(
2
)(
τωττ
π
ω
dkS
XX
(10)
∫
+∞
=
0
.cos)()(
ωωτωτ
dSk
XX
(11)
11. Преобразование стационарного с.п. стационарной линейной дина-
мической системой.
Стационарная линейная динамическая система описывается линейным
дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами
)()(
0
1
1
10
1
1
1
tXb
dt
d
b
dt
d
btYa
dt
d
a
dt
d
a
m
m
m
m
m
m
n
n
n
n
n
n
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+++=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+++
−
−
−
−
−
−
LL
. (12)
Введем обозначение
k
k
k
p
dt
d
=
. Тогда уравнение (12) принимает вид
(
)
(
)
)()(
0
1
10
1
1
tXbpbpbtYapapa
m
m
m
m
n
n
n
n
+++=+++
−
−
−
−
LL
.
Обозначим 
                                                    10



                                          1 +∞           −iωτ
                             S X (ω ) =      ∫ k X (τ ) e dτ                                       (8)
                                          π    −∞

называется спектральной плотностью с.п. X(t).
    Корреляционная функция kX(τ) выражается через спектральную плотность
при помощи обратного преобразования Фурье

                                          +∞
                                      1
                            k X (τ ) = ∫ S X (ω ) eiωτ dω .                                        (9)
                                      2 −∞

    Соотношения (8) и (9) называется формулами Винера–Хинчина.

    Свойства спектральной плотности стационарного с. п.
    1) S X (−ω ) = S X (ω ) − четность спектральной плотности.
    2) S X (ω ) ≥ 0 .
                    +∞
    3) D X =         ∫ S X (ω )dω .
                     0
     Из-за четности функций kX(τ) и SX(ω) формулы (8) и (9) можно представить
в виде
                              2 +∞
                    S X (ω ) = ∫ k X (τ ) cosωτ dτ ,                                              (10)
                                 π    0
                                 +∞
                     k X (τ ) = ∫ S X (ω ) cosωτdω.                                               (11)
                                  0

    11. Преобразование стационарного с.п. стационарной линейной дина-
мической системой.
    Стационарная линейная динамическая система описывается линейным
дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами

⎛ dn
⎜ an             d n−1            ⎞
                                  ⎟
                                              ⎛
                                              ⎜    dm         d m−1             ⎞
⎜ dt n  + a n −1    n −1
                         + L + a 0⎟  Y (t ) = ⎜ bm  m
                                                      + bm −1    m −1
                                                                      + L + b0 ⎟⎟ X (t ) . (12)
⎝                dt               ⎠           ⎝ dt            dt                ⎠
                                 dk
     Введем обозначение             k
                                       = p k . Тогда уравнение (12) принимает вид
                                 dt
        (a   n                                 )     (                                )
                 p n + a n −1 p n −1 + L + a 0 Y (t ) = bm p m + bm −1 p m −1 + L + b0 X (t ) .
    Обозначим

Страницы