Элементы теории случайных процессов. Син Л.И. - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИСОиП ДГТУ | Шахты

Составители: 

Рубрика: 

9
Характеристики интеграла от стационарного случайного процесса.
Пусть X(t) − интегрируемый стационарный с.п. и
∫
=
t
dssXtZ
0
)()(
. Тогда
9)
∫∫∫
−
−−−−+−=
2121
00
122
0
121
)()()()()()(),(
ttt
XX
t
XZ
dkttdktdktttK
τττττττττ
.
10)
∫
−=
t
XZ
dkttD
0
)()(2)(
τττ
.
11)
∫
−=
2
0
121,
)(),(
t
XZX
dtkttK
ττ
,
∫
−=
1
0
221,
)(),(
t
XXZ
dtkttK
ττ
.
Рассмотрим функцию
∫
−=
t
X
dkttI
0
)()()(
τττ
. Тогда по свойству 9) имеем
)()()(),(
122121
ttItItIttK
Z
−
−
+
=
. (5)
Заметим, что функция I(t) – четная, а для функции ),(
21,
ttK
ZX
выполняется
соотношение
),(),(
21,21,
ttKttK
ZXZX
−
=
−
−
. Это можно доказать, сделав замену
переменной
τ
= –s в обоих интегралах I(–t) и
),(
21,
ttK
ZX
−
−
.
9. Эргодическое свойство стационарного случайного процесса.
Определение. Стационарный с.п. X(t) называется эргодическим относи-
тельно математического ожидания m
X
, если для любой его реализации
)(tx
∫
+∞→
=
T
T
X
dssx
T
m
0
)(
1
lim
. (6)
Стационарный с.п X(t) называется эргодическим относительно корреля-
ционной функции k
X
(τ), если для любой его реализации
)(tx
∫
−+−=
+∞→
T
XX
T
X
dtmtxmtx
T
k
0
))()()((
1
lim)(
ττ
. (7)
10. Спектральное разложение стационарного случайного процесса.
Пусть X(t) − стационарный с.п., k
X
(τ) − его корреляционная функция, ин-
тегрируемая абсолютно на (−∞, +∞).
Преобразование Фурье 
                                                        9


     Характеристики интеграла от стационарного случайного процесса.
                                                                                  t
Пусть X(t) − интегрируемый стационарный с.п. и Z (t ) = ∫ X ( s )ds . Тогда
                                                                                  0
                            t1                        t2                          t2 −t1
     9)    K Z (t1 , t 2 ) = ∫ (t1 − τ )k X (τ )dτ + ∫ (t 2 − τ )k X (τ )dτ −         ∫ (t 2 − t1 − τ )k X (τ )dτ .
                            0                          0                              0
                           t
     10)      DZ (t ) = 2 ∫ (t − τ )k X (τ )dτ .
                           0
                                 t2                                        t1
     11) K X , Z (t1 , t 2 ) = ∫ k X (t1 − τ )dτ ,     K Z, X (t1 , t 2 ) = ∫ k X (t 2 − τ )dτ .
                                 0                                          0

                                               t
     Рассмотрим функцию I (t ) = ∫ (t − τ )k X (τ )dτ . Тогда по свойству 9) имеем
                                               0

                         K Z (t1 , t 2 ) = I (t1 ) + I (t 2 ) − I (t 2 − t1 ) .                                 (5)
     Заметим, что функция I(t) – четная, а для функции K X , Z (t1 , t 2 ) выполняется
соотношение K X , Z (−t1,−t2 ) = − K X , Z (t1, t2 ) . Это можно доказать, сделав замену
переменной τ = –s в обоих интегралах I(–t) и K X , Z (−t1 ,−t 2 ) .

     9. Эргодическое свойство стационарного случайного процесса.
    Определение. Стационарный с.п. X(t) называется эргодическим относи-
тельно математического ожидания mX , если для любой его реализации x (t )

                                           T
                                    1
                       m X = lim ∫ x( s )ds .                                                                   (6)
                             T → +∞ T
                                      0

    Стационарный с.п X(t) называется эргодическим относительно корреля-
ционной функции kX(τ), если для любой его реализации x (t )

                                      T
                               1
               k X (τ ) = lim ∫ ( x(t ) − m X )( x(t + τ ) − m X )dt .                                          (7)
                         T →+∞ T
                                 0

     10. Спектральное разложение стационарного случайного процесса.
    Пусть X(t) − стационарный с.п., kX(τ) − его корреляционная функция, ин-
тегрируемая абсолютно на (−∞, +∞).
    Преобразование Фурье

Страницы