Элементы теории случайных процессов. Син Л.И. - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИСОиП ДГТУ | Шахты

Составители: 

Рубрика: 

7
5)
)()(),(
2121,
ttttK
YXYX
σσ
⋅≤
.
6)
1),(
21,
≤tt
YX
ρ
.
Теорема. Если
∑
=
=
n
i
i
tXtZ
1
)()(, то
∑∑
≠=
+=
ji
XX
n
i
XZ
ttKttKttK
jii
),(),(),(
21,
1
2121
.
Следствие. Если
∑
=
=
n
i
i
tXtZ
1
)()(
и с. п.
n
XXX ,,,
21
K
попарно некорре-
лированы, то
∑
=
=
n
i
XZ
ttKttK
i
1
2121
),(),(
.
Для двух случайных процессов
)(tX
и
)(tY
теорема и следствие выглядят
следующим образом.
),(),(),(),(),(
12,21,212121
ttKttKttKttKttK
YXYXYXYX
+
+
+
=
+
. (1)
Если с.п.
)(tX
и
)(tY
некоррелированы, то
),(),(),(
212121
ttKttKttK
YXYX
+
=
+
. (2)
6. Характеристики производной случайного процесса. Пусть X(t) −
случайный процесс,
)(tX
′
− его производная. Тогда верны следующие свойства.
1)
))(()(
′
=
′
tmtm
YX
.
2)
),(),(
21
21
2
21
ttK
tt
ttK
XX
∂∂
∂
=
′
.
3)
),(),(
21
2
21,
ttK
t
ttK
XXX
∂
∂
=
′
,
),(),(
21
1
21,
ttK
t
ttK
XXX
∂
∂
=
′
.
Замечание. Рекомендуем ознакомиться с понятиями предела, производной
и интеграла в среднеквадратическом смысле в пособиях /2,5,8/.
7. Характеристики интеграла от случайного процесса. Пусть X(t) −
случайный процесс,
∫
=
t
dssXtZ
0
)()(
.
Тогда выполняются следующие свойства. 
                                                                    7



      5)     K X ,Y (t1 , t 2 ) ≤ σ X (t1 ) ⋅ σ Y (t 2 ) .

      6)     ρ X ,Y (t1 , t 2 ) ≤ 1 .
                                              n
      Теорема. Если               Z (t ) = ∑ X i (t ) , то
                                             i =1
                                                    n
                          K Z (t1 , t 2 ) = ∑ K X i (t1 , t 2 ) + ∑ K X i , X j (t1 , t 2 ) .
                                                  i =1                  i≠ j
                                                   n
      Следствие. Если Z (t ) = ∑ X i (t ) и с. п. X 1 , X 2 , K , X n попарно некорре-
                                                  i =1
лированы, то
                                                                    n
                                           K Z (t1 , t 2 ) = ∑ K X i (t1 , t 2 ) .
                                                                i =1

    Для двух случайных процессов X (t ) и Y (t ) теорема и следствие выглядят
следующим образом.
     K X +Y (t1 , t 2 ) = K X (t1 , t 2 ) + K Y (t1 , t 2 ) + K X ,Y (t1 , t 2 ) + K X ,Y (t 2 , t1 ) . (1)

      Если с.п. X (t ) и Y (t ) некоррелированы, то

                           K X +Y (t1 , t 2 ) = K X (t1 , t 2 ) + KY (t1 , t 2 ) .                     (2)


    6. Характеристики производной случайного процесса. Пусть X(t) −
случайный процесс, X ′(t ) − его производная. Тогда верны следующие свойства.
    1) m X ′ (t ) = (mY (t ))′ .
                                    ∂2
      2)    K X ′ (t1 , t 2 ) =           K X (t1 , t 2 ) .
                                  ∂t1∂t 2
                                      ∂                                         ∂
      3)    K X , X ′ (t1 , t2 ) =       K X (t1 , t2 ) , K X ′, X (t1, t2 ) =     K X (t1 , t2 ) .
                                     ∂t2                                       ∂t1

    Замечание. Рекомендуем ознакомиться с понятиями предела, производной
и интеграла в среднеквадратическом смысле в пособиях /2,5,8/.

    7. Характеристики интеграла от случайного процесса. Пусть X(t) −
случайный процесс,
                                                                t
                                                       Z (t ) = ∫ X ( s )ds .
                                                                0
      Тогда выполняются следующие свойства.

Страницы