Элементы теории случайных процессов. Син Л.И. - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИСОиП ДГТУ | Шахты

Составители: 

Рубрика: 

11
0
1
1
)( apapapA
n
n
n
nn
+++=
−
−
L ,
0
1
1
)( bpbpbpB
m
m
m
mm
+++=
−
−
L
.
Функция
)(
)(
)(
pA
pB
pФ
n
m
=
называется передаточной функцией стационарной
линейной динамической системы (12). Функция
)(
)(
)(
ω
ω
ω
iA
iB
iФ
n
m
=
называется
амплитудно-фазовой частотной характеристикой, а
2
|)Ф(|
ω
i
называется ампли-
тудно-частотной характеристикой стационарной линейной динамической сис-
темы.
Если на вход устойчивой стационарной линейной динамической системы
(12) подается стационарный с.п. X(t), то в установившемся режиме на выходе
будет стационарный с.п. Y(t). При этом верны следующие формулы.
1)
XY
m
a
b
m
0
0
= .
2)
∫∫
+∞+∞
∞−
==
0
22
2
1
)()()()(
ωωωωωω
dSiФdSiФD
XXY
.
3)
)()()(
2
ωωω
XY
SiФS =
.
4)
∫∫
+∞+∞
∞−
==
0
22
2
1
cos)()(e)()()(
ωτωωωωωωτ
ωτ
dSiФdSiФk
XXY
i
.
РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
1.
Найти математическое ожидание m
X
(t), корреляционную функцию
К
X
(t
1
,t
2
), дисперсию D
X
(t) случайного процесса Х(t) = U sht – 3е
−3t
V + t
2
, где
U, V − некоррелированные случайные величины, U
∈
R(−3; 3), V
∈
Р(1.2).
Решение. Сначала вычислим м. о. и дисперсии случайных величин U и V:
,0
2
33
][ =
+−
=UM
,3
12
)33(
][
2
=
+
=UD
2.1][][
=
=
VDVM
.
По свойству 2) п.2 м.о. от суммы с.п. равно сумме м.о. от слагаемых:
)()()()(
23
e3
sh
tmtmtmtm
tV
UtX
t
+
+
=
−
−
⋅
.
По свойству 1) п.2 м.о. неслучайной функции равно самой функции. По-
этому
2
)(
2
ttm
t
=
. По свойству 5) п.2 множитель с. п. в виде неслучайной
функции выносится за знак м.о. Следовательно,
.e6.3][e3)(,0][sh)(
33
e3
sh
3
tt
V
Ut
VMtmUMttm
t
−
−
−
⋅
−=−==⋅=
−
                                                       11



    An ( p ) = a n p n + a n −1 p n −1 + L + a 0 , Bm ( p ) = bm p m + bm −1 p m −1 + L + b0 .
                   Bm ( p )
     Функция Ф( p) =        называется передаточной функцией стационарной
                   An ( p )
                                                       B (iω )
линейной динамической системы (12). Функция Ф(iω ) = m          называется
                                                       An (iω )
амплитудно-фазовой частотной характеристикой, а | Ф(iω ) | 2 называется ампли-
тудно-частотной характеристикой стационарной линейной динамической сис-
темы.
     Если на вход устойчивой стационарной линейной динамической системы
(12) подается стационарный с.п. X(t), то в установившемся режиме на выходе
будет стационарный с.п. Y(t). При этом верны следующие формулы.

                   b0
     1)     mY =      mX .
                   a0
                       +∞                              +∞
                                        2                             2
     2)     DY =   1
                   2    ∫   Ф(iω ) S X (ω )dω =        ∫    Ф(iω ) S X (ω ) dω .
                       −∞                              0
                                    2
     3)     SY (ω ) = Ф(iω ) S X (ω ) .
                            +∞                                    +∞
                                            2        iωτ                     2
     4)     kY (τ ) =   1
                        2    ∫   Ф(iω ) S X (ω ) e         dω =   ∫    Ф(iω ) S X (ω ) cos ωτ dω .
                            −∞                                    0


                                                РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
     1. Найти математическое ожидание mX(t), корреляционную функцию
КX(t1,t2), дисперсию DX(t) случайного процесса Х(t) = U sht – 3е−3t V + t2, где
U, V − некоррелированные случайные величины, U ∈ R(−3; 3), V ∈ Р(1.2).
     Решение. Сначала вычислим м. о. и дисперсии случайных величин U и V:
                                                2
           −3+3              (3 + 3)
M [U ] =        = 0, D[U ] =         = 3, M [V ] = D[V ] = 1.2 .
            2                  12
     По свойству 2) п.2 м.о. от суммы с.п. равно сумме м.о. от слагаемых:
                            m X (t ) = msh t ⋅U (t ) + m− 3 e −3t V (t ) + mt 2 (t ) .
    По свойству 1) п.2 м.о. неслучайной функции равно самой функции. По-
этому mt 2 (t ) = t 2 . По свойству 5) п.2 множитель с. п. в виде неслучайной
функции выносится за знак м.о. Следовательно,

      msh t ⋅U (t ) = sh t ⋅ M [U ] = 0, m− 3 e −3t V (t ) = −3 e −3t M [V ] = −3.6 e −3t .

Страницы