Элементы теории случайных процессов. Син Л.И. - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИСОиП ДГТУ | Шахты

Составители: 

Рубрика: 

13
3. X(t), Y(t) – центрированные с. п., K
X
(t
1
, t
2
) = 4sint
1
sint
2
, K
Y
(t
1
, t
2
) =
81sin
t
1
sint
2
, K
X,Y
(t
1
, t
2
) = 18sint
1
sint
2
. Найти математическое ожидание m
Z
(t), кор-
реляционную функцию
K
Z
(t
1
, t
2
), дисперсию D
Z
(t), нормированную корреляци-
онную функцию
ρ
Z
(t
1
, t
2
) случайного процесса Z(t) = sin4t + e
– 2 t
X(t) − e
–t
Y(t).
Решение. Так как X(t), Y(t) – центрированные с. п., то их математические
ожидания равны нулю. По свойствам 1), 2), 5) п.2 получаем
.4sin)(e)(e4sin)(
2
ttmtmttm
Y
t
X
t
Z
=−+=
−
−
По свойству 3) п.4 прибавление неслучайной функции
t4sin
к случайному
процессу e
– 2 t
X(t) − e
–t
Y(t) не меняет его корреляционной функции, то по фор-
муле (1) получаем
),(),(),(),(),(
12
,e,e
21
e,e
21
e
21
e
21
222
ttKttKttKttKttK
YXYXYX
Z
tttttt −−−−−−
−−−
+
+
+=
.
По свойству 4) п.4 получаем
,esinsin4),(ee),(
)(2
2121
22
21
e
2121
2
tt
X
tt
X
ttttKttK
t
+−−−
==
−
.esinsin81),(ee),(
)(
212121
e
2121
tt
Y
tt
Y
ttttKttK
t
+−−−
==
−
По свойству 4) п. 5 получаем
.esinsin18),()e(e),(
2121
2
2
2121,
2
21
e,e
tt
YX
tt
YX
ttttKttK
tt
−−−−
−
−=−=
−−
В итоге имеем
−+=
+−+− )(
21
)(2
2121
2121
esinsin81esinsin4),(
tttt
Z
ttttttK
=−−
−−−−
1221
2
21
2
21
esinsin18esinsin18
tttt
tttt
).e18e1881e4(esinsin
212121
)()(
21
tttttt
tt
−−+−+−
−−+=
Дисперсию найдем по свойству 6) п.4:
.)9e2(esin)e3681e4(esin)(
222222
−=−+=
−−−−− ttttt
Z
tttD
По определению нормированной корреляционной функции (п. 4)
)()(
),(
),(
21
21
21
tt
ttK
tt
ZZ
Z
Z
σσ
ρ
=
. 
                                                                          13




        3. X(t), Y(t) – центрированные с. п., KX(t1, t2) = 4sint1sint2, KY(t1, t2) =
81sint1sint2, KX,Y (t1, t2) = 18sint1sint2. Найти математическое ожидание mZ (t), кор-
реляционную функцию KZ (t1, t2), дисперсию DZ (t), нормированную корреляци-
онную функцию ρZ (t1, t2) случайного процесса Z(t) = sin4t + e– 2 t X(t) − e–tY(t).
    Решение. Так как X(t), Y(t) – центрированные с. п., то их математические
ожидания равны нулю. По свойствам 1), 2), 5) п.2 получаем

                               mZ (t ) = sin 4t + e −2t m X (t ) − e −t mY (t ) = sin 4t.
    По свойству 3) п.4 прибавление неслучайной функции sin 4t к случайному
процессу e– 2 t X(t) − e–tY(t) не меняет его корреляционной функции, то по фор-
муле (1) получаем
K Z (t 1 , t 2 ) = K e − 2 t X (t 1 , t 2 ) + K − e − t Y (t 1 , t 2 ) + K e − 2 t X , − e − t Y (t 1 , t 2 ) + K e − 2 t X , − e − t Y , (t 2 , t 1 ) .

        По свойству 4) п.4 получаем
                        K e − 2t X (t1 , t 2 ) = e −2t1 e −2t 2 K X (t1 , t 2 ) = 4 sin t1 sin t 2 e −2(t1 +t2 ) ,

                            K e−tY (t1 , t 2 ) = e −t1 e −t2 K Y (t1 , t 2 ) = 81sin t1 sin t 2 e −(t1 +t2 ) .

        По свойству 4) п. 5 получаем

        K e − 2 t X , − e −t Y (t1 , t 2 ) = e −2t1 (− e −t2 )K X , Y (t1 , t 2 ) = −18 sin t1 sin t 2 e −2t1 −t2 .
        В итоге имеем

                     K Z (t1 , t 2 ) = 4 sin t1 sin t 2 e −2(t1 +t2 ) + 81sin t1 sin t 2 e −(t1 +t2 ) −

                             − 18 sin t1 sin t 2 e −2t1 −t2 − 18 sin t1 sin t 2 e −2t2 −t1 =

                        = sin t1 sin t 2 e −(t1 +t2 ) (4 e −(t1 +t2 ) + 81 − 18 e −t1 − 18 e −t2 ).
        Дисперсию найдем по свойству 6) п.4:

              DZ (t ) = sin 2 t e −2t (4 e −2t + 81 − 36 e −t ) = sin 2 t e −2t (2 e − t − 9) 2 .
        По определению нормированной корреляционной функции (п. 4)
                                                                           K Z (t1 , t 2 )
                                                  ρ Z (t1 , t 2 ) =
                                                                         σ Z (t1 )σ Z (t 2 ) .

Страницы