Элементы теории случайных процессов. Син Л.И. - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИСОиП ДГТУ | Шахты

Составители: 

Рубрика: 

14
.)9e2(sine)9e2(esin)()(
222
−=−==
−−−− tttt
ZZ
tttDt
σ
=
−⋅−
−−+
=
−−−−
−
−
−
−
−−
)9e2(sine)9e2(sine
)e18e1881ee4(eesinsin
),(
2211
212121
21
21
21
tttt
tttttt
Z
tt
tt
tt
ρ
.1
)9e2)(9e2(sinsinee
)9e2)(9e2(sinsinee
2121
2121
21
21
±=
−−
−−
=
−−−−
−
−
−
−
tttt
tttt
tt
tt
При этом ρ
Z
(t
1
,t
2
) =1, если
0)9e2)(9e2(sinsin
21
21
>−−
−− tt
tt
, и ρ
Z
(t
1
,t
2
) =
−1, если
0)9e2)(9e2(sinsin
21
21
<−−
−− tt
tt
.
4. Х(t) = ch2t – U sh2t, случайная величина U
∈
E(0.4), Y(t) = X′(t). Найти ма-
тематическое ожидание m
Y
(t), корреляционную функцию K
Y
(t
1
, t
2
), дисперсию
D
Y
(t), нормированную корреляционную функцию ρ
Y
(t
1
, t
2
) случайного процесса
Y(t), не дифференцируя X(t). Найти взаимную корреляционную функцию
K
X,Y
(t
1
, t
2
) и нормированную взаимную корреляционную функцию ρ
X,Y
(t
1
, t
2
).
Решение. Найдем математическое ожидание и дисперсию случайной ве-
личины U:
,5.24.0/1/1][ =
=
=
λ
UM
.25.64.0/1/1][
22
===
λ
UD
Найдем математическое ожидание с.п. X(t)
.2sh5.22ch][2sh2ch)( ttUMtttm
X
−
=
⋅
−=
Найдем корреляционную функцию с.п. X(t)
.2sh2sh25.6][)2sh)(2sh(),(),(
2121212sh21
ttUDttttKttK
UtX
=
−
−=
=
−
Найдем дисперсию с.п. X(t ) по свойству 6) п. 4:
.2sh25.6),()(
2
tttKtD
XX
==
По свойству 1) из п.6 получаем
.2ch52sh2)2sh5.22(ch))(()( tttttmtm
XY
−
=
′
−
=
′
=
По свойству 2) из п.6 получаем
.2ch2ch25)2sh2ch5.12()2sh2sh25.6(),(
2121
2
21
21
2
21
tttt
t
tt
tt
ttK
Y
=
∂
∂
=
∂∂
∂
=
Дисперсию найдем по свойству 6) п.4 
                                                             14



            σ Z (t ) = DZ (t ) = sin 2t e − 2t ( 2 e − t − 9) 2 = e − t sint (2 e − t − 9) .

                             sin t1 sin t 2 e −t1 e −t 2 (4 e −t1 e −t 2 + 81 − 18 e −t1 − 18 e −t 2 )
         ρ Z (t1 , t 2 ) =                                                                                 =
                                       e − t1 sin t1 (2 e − t1 − 9) ⋅ e − t 2 sin t 2 (2 e − t 2 − 9)

                             e −t1 e −t 2 sin t1 sin t 2 (2 e −t1 − 9)(2 e −t 2 − 9)
                       =                                                                          = ± 1.
                               − t1 − t 2                         − t1              −t 2
                           e       e        sin t1 sin t 2 (2 e          − 9)(2 e          − 9)

     При этом ρZ (t1,t2) =1, если sin t1 sin t 2 (2 e −t1 − 9)(2 e − t 2 − 9) > 0 , и ρZ (t1,t2) =
                             −t         −t
−1, если sin t1 sin t 2 ( 2 e 1 − 9)(2 e 2 − 9) < 0 .

     4. Х(t) = ch2t – U sh2t, случайная величина U ∈ E(0.4), Y(t) = X′(t). Найти ма-
тематическое ожидание mY (t), корреляционную функцию KY (t1, t2), дисперсию
DY (t), нормированную корреляционную функцию ρY (t1, t2) случайного процесса
Y(t), не дифференцируя X(t).                         Найти взаимную корреляционную функцию
KX,Y (t1, t2) и нормированную взаимную корреляционную функцию ρX,Y (t1, t2).
    Решение. Найдем математическое ожидание и дисперсию случайной ве-
личины U: M [U ] = 1 / λ = 1 / 0.4 = 2.5, D[U ] = 1 / λ2 = 1 / 0.42 = 6.25.
    Найдем математическое ожидание с.п. X(t)
                           m X (t ) = ch 2t − sh 2t ⋅ M [U ] = ch 2t − 2.5 sh 2t.
     Найдем корреляционную функцию с.п. X(t)
      K X (t1 , t 2 ) = K −sh 2t U (t1 , t 2 ) = (− sh 2t1 )(− sh 2t 2 ) D[U ] = 6.25 sh 2t1 sh 2t 2 .

     Найдем дисперсию с.п. X(t ) по свойству 6) п. 4:

                                        D X (t ) = K X (t , t ) = 6.25 sh 2 2t.
     По свойству 1) из п.6 получаем
                mY (t ) = (m X (t ))′ = (ch 2t − 2.5 sh 2t )′ = 2 sh 2t − 5 ch 2t.
     По свойству 2) из п.6 получаем
                       ∂2                               ∂
 K Y (t1 , t 2 ) =            (6.25 sh 2t1 sh 2t 2 ) =      (12.5 ch 2t1 sh 2t 2 ) = 25 ch 2t1 ch 2t 2 .
                     ∂t1 ∂t 2                          ∂t 2
     Дисперсию найдем по свойству 6) п.4

Страницы