Элементы теории случайных процессов. Син Л.И. - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИСОиП ДГТУ | Шахты

Составители: 

Рубрика: 

16
Найдем корреляционную функцию производной с. п. X(t)
()
.2sin2sin164.62cos2cos46.1),(
212121
2
2
2
1
21
2
21
tttttttt
tt
ttK
X
+=+
∂∂
∂
=
′
Найдем взаимные корреляционные функции с. п. X(t) и его производной:
(
)
,2sin2cos82.32cos2cos46.1),(
212
2
121
2
2
2
1
2
21,
tttttttt
t
ttK
XX
−=+
∂
∂
=
′
.2sin2cos82.3),(),(
12
2
2112,21,
ttttttKttK
XXXX
−==
′′
Найдем математическое ожидание с. п. Y(t)
=++−−++=−=
′
)2sin641()2cos321(2)()(2)(
222
tttttttmttmtm
XXY
.2sin62cos64322
232
tttttt −−−++=
Найдем корреляционную функцию с. п. Y(t) по формуле (1)
=
+
+
+=
′
−
′
−
′
−
),(),(),(),(),(
12
,2
21
,2
2121221
222
ttKttKttKttKttK
XtXXtXXt
XY
=−−+=
′′′
),(2),(2),(),(4
12,
2
121,
2
221
2
2
2
121
ttKtttKtttKttttK
XXXXXX
−+++=
21
2
2
2
1
3
2
3
121
2
2
2
1
2sin2sin164.62cos2cos164.6 tttttttttt
=+−+−
21
2
1
2
2
3
121
2
2
3
2
2
1
2cos2sin164.62sin2cos164.6 tttttttttt
).2sin2)(cos2sin2(cos16)1)(1(4.6
2
2
221
2
1121
2
2
2
1
tttttttttt +++−−=
Найдем дисперсию с. п. Y(t) по свойству 6) п. 4:
=)(tD
Y
.)2sin2(cos16)1(4.6
2224
ttttt ++−
6. Дан с. п. X(t) = (t
2
+1)U, U
∈
N (−3, 5),
∫
=
t
dssXtZ
0
.)()(
Найти математи-
ческое ожидание m
Z
(t), корреляционную функцию К
Z
(t
1
,t
2
), дисперсию D
Z
(t),
взаимные корреляционные функции K
Z,X
(t
1
,t
2
), K
X,Z
(t
1
,t
2
), не интегрируя X(t).
Решение. Найдем математическое ожидание и дисперсию случайной ве-
личины U:
.255][,3][
22
===−==
σ
UDmUM
Найдем математическое ожидание с. п. X(t)
).1(3][)1()(
22
+−=+= tUMttm
X
                                                              16


     Найдем корреляционную функцию производной с. п. X(t)

    K X ′ (t1 , t 2 ) =
                             ∂2
                          ∂ t1∂ t 2
                                       (                                      )
                                    1.6t12 t 22 + 4 cos 2t1 cos 2t 2 = 6.4t1t 2 + 16 sin 2t1 sin 2t 2 .

     Найдем взаимные корреляционные функции с. п. X(t) и его производной:

     K X , X ′ (t1 , t 2 ) =
                                ∂
                               ∂t 2
                                   (                                         )
                                    1.6t12 t 22 + 4 cos 2t1 cos 2t 2 = 3.2t12 t 2 − 8 cos 2t1 sin 2t 2 ,

                K X ′, X (t1 , t 2 ) = K X , X ′ (t 2 , t1 ) = 3.2t1t 22 − 8 cos 2t 2 sin 2t1 .
     Найдем математическое ожидание с. п. Y(t)

 mY (t ) = 2m X (t ) − t 2 m X ′ (t ) = 2(t + 1 + 2t 2 − 3 cos 2t ) − t 2 (1 + 4t + 6 sin 2t ) =
                               = 2 + 2t + 3t 2 − 4t 3 − 6 cos 2t − 6t 2 sin 2t.
     Найдем корреляционную функцию с. п. Y(t) по формуле (1)
  K Y (t1 , t 2 ) = K 2 X (t1 , t 2 ) + K −t 2 X ′ (t1 , t 2 ) + K 2 X , −t 2 X ′ (t1 , t 2 ) + K 2 X , −t 2 X ′ (t 2 , t1 ) =

       = 4 K X (t1 , t 2 ) + t12 t 22 K X ′ (t1 , t 2 ) − 2t 22 K X , X ′ (t1 , t 2 ) − 2t12 K X , X ′ (t 2 , t1 ) =

           = 6.4t12t 22 + 16 cos 2t1 cos 2t 2 + 6.4t13t 23 + 16t12t 22 sin 2t1 sin 2t 2 −
             − 6.4t12 t 23 + 16t 22 cos 2t1 sin 2t 2 − 6.4t13 t 22 + 16t12 sin 2t1 cos 2t 2 =

         = 6.4t12 t 22 (1 − t1 )(1 − t 2 ) + 16(cos 2t1 + t12 sin 2t1 )(cos 2t 2 + t 22 sin 2t 2 ).
     Найдем дисперсию с. п. Y(t) по свойству 6) п. 4:

                          DY (t ) = 6.4t 4 (1 − t ) 2 + 16(cos2t + t 2 sin2t ) 2 .
                                                                                      t
     6. Дан с. п. X(t) = (t +1)U, U ∈ N (−3, 5), Z (t ) = ∫ X ( s )ds. Найти математи-
                                           2

                                                                                      0

ческое ожидание mZ (t), корреляционную функцию КZ (t1,t2), дисперсию DZ (t),
взаимные корреляционные функции KZ,X (t1,t2), KX,Z (t1,t2), не интегрируя X(t).
    Решение. Найдем математическое ожидание и дисперсию случайной ве-
личины U: M [U ] = m = −3, D[U ] = σ = 5 = 25.
                                    2   2


    Найдем математическое ожидание с. п. X(t)
                                       m X (t ) = (t 2 + 1) M [U ] = −3(t 2 + 1).

Страницы