Элементы теории случайных процессов. Син Л.И. - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИСОиП ДГТУ | Шахты

Составители: 

Рубрика: 

17
Найдем корреляционную функцию с.п. X(t)
.)1)(1(25][)1)(1(),(),(
2
2
2
1
2
2
2
121
)1(
21
2
++=++==
+
ttUDttttKttK
Ut
X
Найдем математическое ожидание с. п. Z(t) формуле 1) п. 7:
()
.)3(3)1)(3()(
3
0
3
0
2
ttssdsstm
t
t
Z
+−=+−=+−=
∫
Найдем корреляционную функцию с. п. Z(t) по формуле 2) п. 7:
=++=
∫∫
12
00
2
2
2
2
1121
)1)(1(25),(
tt
Z
dsssdsttK
=++
∫∫
12
00
2
2
21
2
1
)1()1(25
tt
dssdss
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+=
2
3
2
1
3
1
0
2
3
2
0
1
3
1
33
25
33
25
21
t
t
t
t
s
s
s
s
tt
.
Найдем дисперсию с. п. Z(t) по свойству 6) п. 4:
.
3
25),()(
2
3
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+== t
t
ttKtD
ZZ
Найдем взаимные корреляционные функции по формуле 3) п. 7:
,
3
)1(25)1)(1(25),(
2
3
2
2
1
0
22
121,
2
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++=++=
∫
t
t
tdsstttK
t
ZX
.
3
)1(25),(),(
1
3
1
2
212,21,
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++== t
t
tttKttK
ZXXZ
7.
.)()(),2(,
4
)(
0
2
∫
=∈
+
=
t
dssXtZPU
t
U
tX
Найти корреляционную
функцию К
Y
(t
1
,t
2
), дисперсию D
Y
(t), нормированную корреляционную функцию
ρ
Y
(t
1
,t
2
) случайного процесса Y(t) = X(t) + Z(t), не интегрируя X(t).
Решение. Найдем дисперсию случайной величины U :
.2][ ==
λ
UD
Найдем корреляционную функцию с.п. X(t)
.
)4)(4(
2
][
4
1
4
1
),(
2
2
2
1
2
2
2
1
21
tt
UD
tt
ttK
X
++
=
+
⋅
+
=
                                                               17


     Найдем корреляционную функцию с.п. X(t)
          K X (t1 , t 2 ) = K (t 2 +1)U (t1 , t 2 ) = (t12 + 1)(t 22 + 1) D[U ] = 25(t12 + 1)(t 22 + 1) .

     Найдем математическое ожидание с. п. Z(t) формуле 1) п. 7:

                                                                       (         )
                                      t
                                                                                     t
                    m Z (t ) = ∫ ( −3)( s 2 + 1) ds = − s 3 + 3s                             = −(t 3 + 3t ) .
                                                                                         0
                                      0

     Найдем корреляционную функцию с. п. Z(t) по формуле 2) п. 7:
                        t1       t2                                         t1                      t2

                                      25( s12    + 1)(s22   + 1)ds2 = 25∫ ( s + 1)ds1 ∫ ( s 2 + 1)ds 2 =
                                                                                 2          2
     K Z (t1 , t 2 ) = ∫ ds1 ∫                                                   1
                        0        0                                          0                       0

                                                t1                t2
                        ⎛ s13  ⎞ ⎛ s23  ⎞     ⎛ t13   ⎞⎛ t 23    ⎞
                    = 25⎜ + s1 ⎟ ⎜ + s2 ⎟ = 25⎜ + t1 ⎟⎟⎜⎜ + t 2 ⎟⎟ .
                        ⎜      ⎟ ⎜      ⎟     ⎜
                        ⎝3     ⎠0⎝ 3    ⎠0    ⎝3      ⎠⎝ 3       ⎠
     Найдем дисперсию с. п. Z(t) по свойству 6) п. 4:
                                                                                     2
                                                                       ⎛t3 ⎞
                                          D Z (t ) = K Z (t , t ) = 25⎜⎜ + t ⎟⎟ .
                                                                       ⎝3 ⎠
     Найдем взаимные корреляционные функции по формуле 3) п. 7:
                                          t2
                                                                        ⎛ t 23   ⎞
                 K X , Z (t1 , t 2 ) = ∫ 25(t + 1)(s + 1)ds = 25(t + 1)⎜⎜ + t 2 ⎟⎟ ,
                                                     2
                                                     1
                                                              2                  2
                                                                                 1
                                       0                                ⎝3       ⎠

                                                                             ⎛ t13   ⎞
                       K Z , X (t1 , t 2 ) = K X , Z (t 2 , t1 ) = 25(t + 1)⎜⎜ + t1 ⎟⎟ .
                                                                            2
                                                                            2
                                                                             ⎝3      ⎠

                                                                       t
                             U
     7.     X (t ) =             2
                                   , U ∈ P ( 2),            Z (t ) = ∫ X ( s ) ds.           Найти корреляционную
                       4+t                                             0

функцию КY (t1,t2), дисперсию DY (t), нормированную корреляционную функцию
ρY (t1,t2) случайного процесса Y(t) = X(t) + Z(t), не интегрируя X(t).
     Решение. Найдем дисперсию случайной величины U : D[U ] = λ = 2.
     Найдем корреляционную функцию с.п. X(t)
                                                 1      1                      2
                     K X (t1 , t 2 ) =                ⋅       D[ U ] =                      .
                                               4 + t1 4 + t 2
                                                    2       2
                                                                       (4 + t1 )(4 + t 22 )
                                                                             2

Страницы