Элементы теории случайных процессов. Син Л.И. - 19 стр.

                                                    19


стационарен в широком смысле. Проверить свойство эргодичности для м. о. и
корреляционной функции.
       Решение. Найдем M [U ] = −2, M [V ] = 0, D[U ] = 3, D[V ] = 3.
       Проверим равенства (3) и (4) п. 8. Найдем математическое ожидание с. п.
X(t): m X (t ) = M [U + 2] cos 7t − M [V ] sin 7t = ( M [U ] + 2) cos 7t = 0 = const .
       Найдем корреляционную функцию с.п. X(t):
  K X (t1 , t 2 ) = cos 7t1 cos 7t 2 D[U ] + sin 7t1 sin 7t 2 D[V ] = 3 cos 7(t 2 − t1 ) = 3 cos 7τ .

     Таким образом, m X (t ) = const , а корреляционная функция зависит только
от t2 −t1, следовательно, с. п. X(t) стационарен ( в широком смысле).
     Проверим свойство эргодичности относительно математического ожида-
ния mX . Пусть x(t) = ucos7t − vsin7t − реализация с. п. X(t). Преобразуем ее по
известной формуле u cos 7t − v sin 7t = a cos(7t + θ ) ,
       где       a = u 2 + v 2 , cos θ = ua , sin θ = av .
       Проверим равенство (6) п. 9:
        1T                      1T                            a
  lim     ∫ x ( t ) dt =  lim     ∫ a cos(7t + θ )dt = lim      (sin(7T + θ ) − sin θ ) = 0 = m X .
 T → +∞ T                T → +∞ T                     T → +∞ 7T
          0                       0

       Следовательно, с. п. X(t) эргодичен относительно м. о.
       Проверим свойство эргодичности относительно корреляционной функции.
          T                                                  T
        1                                                 1
            ( x(t ) − m X )( x(t + τ ) − m X )dt = lim ∫ a cos(7t + θ )a cos(7(t + τ ) + θ )dt =
 T → +∞ T ∫
  lim
                                                   T → +∞ T
          0                                                 0


                                                          sin(14T + 7τ + 2θ ) − sin(7τ + 2θ )
             T
       a2                                        a2
 lim
T → +∞ 2T ∫
          0
            (cos(14t + 7τ + 2θ ) + cos 7τ ) dt =    lim
                                                 2 T → +∞               14T
                                                                                              +


                        a2     cos 7τ T a 2               a2
                      +    lim       t0 =    lim cos 7τ =    cos 7τ ,
                        2 T →+∞ T         2 T →+∞         2
                                           a2 u2 + v2
что не совладает с k X (τ ) = 3 cos 7τ при   =        ≠ 3.
                                           2     2
      Таким образом, равенство (7) п. 9 выполняется не для всякой реализации
x(t) с.п. X(t), следовательно, с. п. X(t) не является эргодическим относительно
корреляционной функции.