Элементы теории случайных процессов. Син Л.И. - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИСОиП ДГТУ | Шахты

Составители: 

Рубрика: 

20
9. Дана корреляционная функция k
X
(τ) = exp(−3|τ|)(1+sin3|τ|) стационарного
случайного процесса X(t). Найти корреляционную функцию, дисперсию произ-
водной X ′(t), взаимную корреляционную функцию
k
X,X ′
(τ).
Решение. Пусть
0≥
τ
. Тогда k
X
(τ) = exp(−3τ)(1+sin3τ).
По свойству 7) п. 8 имеем
=
′′
+++
′
−=
′′
−=
−−
′
)e)3sin1()3sin1()((e))(()(
33
τ
τ
ττττ
XX
kk
=
′
−+=
′
−+=
−
−
−
))3cos3sin1(e3()e3cos3)3sin1(e3(
333
ττττ
τ
τ
τ
=++−+−=
−
−
)3sin3(cose9)3cos3sin1(e9
33
ττττ
τ
τ
).13cos2(e9
3
−
−
τ
τ
Так как функция
)(
τ
X
k
′
– четная, то, доопределив полученную функцию
по четности на интервале (−∞; 0), получим
)1||3cos2(e9)(
||3
−=
−
′
ττ
τ
X
k
.
В итоге имеем
)13cos2(e9)(
||3
−=
′
ττ
τ
X
k
при
τ∈
(−∞; ∞)
Дисперсию найдем по свойству 1) п. 8
.9)0(
=
=
′′
XX
kD
Найдем взаимную корреляционную функцию по свойству 7) п.8
))(()(
,
′
=
′
τ
τ
XXX
kk
=
,0при),3cos3sin1(e3
3
≥+−−
−
τττ
τ
0 при),3cos3sin1(e3)(
3
,
<−−=
′
ττττ
τ
XX
k
10. Дана корреляционная функция k
X
(τ) стационарного с. п. X(t). Найти
корреляционную функцию
),(
21
ttK
Z
, дисперсию
)(tD
Z
случайного процесса
∫
=
t
dssXtZ
0
)()(
, взаимную корреляционную функцию K
X,Z
(t
1
, t
2
) (в случае б) –
лишь при 0
≤ t
2
≤ t
1
)
а) k
X
(τ)= 72/(1+9τ
2
).
б) k
X
(τ)=
||
e
τ
−
.
Решение.
а) Обозначим
∫
−=
t
X
dkttI
0
)()()(
τττ
. Тогда по формуле (5) п. 8
имеем
)()()(),(
122121
ttItItIttK
Z
−
−
+
=
.
=
+
+
−=
+
−
+
=
+
−
=
∫∫∫∫
tttt
d
tt
dd
td
t
tI
0
2
2
0
2
0
2
0
2
91
)91(
43arctg
3
1
72
91
72
91
72
91
)(72
)(
τ
τ
τ
ττ
τ
τ
τ
τ
τ
).91ln(43arctg24
2
ttt +−=
                                                            20


     9. Дана корреляционная функция kX (τ) = exp(−3|τ|)(1+sin3|τ|) стационарного
случайного процесса X(t). Найти корреляционную функцию, дисперсию произ-
водной X ′(t), взаимную корреляционную функцию kX,X ′ (τ).
                                  τ ≥0
     Решение. Пусть        . Тогда kX (τ) = exp(−3τ)(1+sin3τ).
     По свойству 7) п. 8 имеем
            k X ′ (τ ) = −(k X (τ )) ′′ = −((e −3τ ) ′ (1 + sin 3τ ) + (1 + sin 3τ ) ′ e −3τ ) ′ =

            = (3 e −3τ (1 + sin 3τ ) − 3 cos 3τ e −3τ ) ′ = (3 e −3τ (1 + sin 3τ − cos 3τ )) ′ =

      = −9 e −3τ (1 + sin 3τ − cos 3τ ) + 9 e −3τ (cos 3τ + sin 3τ ) = 9 e −3τ (2 cos 3τ − 1).

     Так как функция k X ′ (τ ) – четная, то, доопределив полученную функцию
                                                                                     −3|τ |
по четности на интервале (−∞; 0), получим k X ′ (τ ) = 9 e                                    (2 cos 3 | τ | −1) .
                               −3|τ |
В итоге имеем k X ′ (τ ) = 9 e        (2 cos 3τ − 1) при τ∈ (−∞; ∞)

     Дисперсию найдем по свойству 1) п. 8 D X ′ = k X ′ (0) = 9.
     Найдем взаимную корреляционную функцию по свойству 7) п.8

               k X , X ′ (τ ) = ( k X (τ ))′ = 3 e −3τ (−1 − sin 3τ + cos 3τ ), при τ ≥ 0,
                        k X , X ′ (τ ) = 3 e 3τ (1 − sin 3τ − cos 3τ ), при τ < 0

    10. Дана корреляционная функция kX (τ) стационарного с. п. X(t). Найти
корреляционную функцию K Z (t1, t2 ) , дисперсию DZ (t ) случайного процесса
        t
Z (t ) = ∫ X ( s )ds , взаимную корреляционную функцию KX,Z (t1, t2) (в случае б) –
        0
лишь при 0 ≤ t2 ≤ t1 )

     а) kX (τ)= 72/(1+9τ 2).
     б) kX (τ)= e −|τ | .
                                                        t
     Решение. а) Обозначим I (t ) = ∫ (t − τ )k X (τ )dτ . Тогда по формуле (5) п. 8
                                                        0
имеем
                                   K Z (t1 , t 2 ) = I (t1 ) + I (t 2 ) − I (t 2 − t1 ) .
               t
                   72(t − τ )             t
                                               dτ           t
                                                            τdτ         1           t
                                                                                      d(1 + 9τ 2 )
      I (t ) = ∫                dτ = 72t ∫          − 72∫          = 72t arctg3t − 4∫              =
               0   1 + 9τ 2              0 1 + 9τ
                                                  2
                                                        0 1 + 9τ
                                                                 2      3           0 1 + 9τ
                                                                                              2


                                           = 24t arctg 3t − 4 ln(1 + 9t 2 ).

Страницы