Элементы теории случайных процессов. Син Л.И. - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИСОиП ДГТУ | Шахты

Составители: 

Рубрика: 

18
Найдем корреляционную функцию с. п. Z(t) по формуле 2) п. 7:
.
2
arctg
2
arctg
2
1
2
arctg
2
1
2
arctg
2
1
2
44
2),(
21
0
2
0
1
00
2
2
2
2
1
1
21
21
12
ttss
s
ds
s
ds
ttK
tt
tt
Z
=⋅⋅=
++
=
∫∫
Найдем взаимные корреляционные функции с. п. X(t), Z(t) по формуле 3)
п. 7:
.
2
arctg
4
1
),(,
2
arctg
4
1
)4)(4(
2
),(
1
2
2
12,
0
2
2
1
22
1
21,
2
t
t
ttK
t
tst
ds
ttK
ZX
t
ZX
+
=
+
=
++
=
∫
Найдем корреляционную функцию
с. п. Y(t) по формуле (1):
=
+
+
+
=
),(),(),(),(),(
12,21,212121
ttKttKttKttKttK
ZXZXZXY
=
+
+
+
++
++
=
2
arctg
4
1
2
arctg
4
1
2
arctg
2
arctg
2
1
)4)(4(
2
1
2
2
2
2
1
21
2
2
2
1
t
t
t
t
tt
tt
.
2
arctg
2
1
4
1
2
arctg
2
1
4
1
2
2
2
2
1
2
1
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+
=
t
t
t
t
Найдем дисперсию с. п. Y(t) по свойству 6) пункта 4:
=
=
),()( ttKtD
YY
.
2
arctg
2
1
4
1
2
2
2
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
+
t
t
Найдем нормированную корреляционную функцию с. п. Y(t)
.1
2
arctg
2
1
4
1
2
arctg
2
1
4
1
2
2
arctg
2
1
4
1
2
arctg
2
1
4
1
2
),(
2
2
2
1
2
1
2
2
2
1
2
1
21
±=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+
=
t
t
t
t
t
t
t
t
tt
Y
ρ
При этом знак
),(
21
tt
Y
ρ
совпадает со знаком выражения
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+
2
arctg
2
1
4
1
2
arctg
2
1
4
1
2
2
2
1
2
1
t
t
t
t
.
8. Доказать, что с. п.
tVtUtX 7sin7cos)2()( −
+
=
, где
),3,2(−∈NU
)3,3(−
∈
RV
, 
                                                              18


        Найдем корреляционную функцию с. п. Z(t) по формуле 2) п. 7:
                      t1            t2                             t                  t2
                            ds1          ds2  1       s1 1 1     s                          1     t       t
 K Z (t1 , t 2 ) = 2 ∫      2 ∫       2
                                        = 2 ⋅   arctg     ⋅ arctg 2                        = arctg 1 arctg 2 .
                     0 4 + s1 0 4 + s 2       2       20 2        2                   0     2      2       2
        Найдем взаимные корреляционные функции с. п. X(t), Z(t) по формуле 3)
п. 7:
                           t2
                                     2ds              1            t2                              1                t1
   K X , Z (t1 , t 2 ) =   ∫ (4 + t 2 )(4 + s 2 ) = 4 + t 2 arctg 2     , K X , Z (t 2 , t1 ) =
                                                                                                  4+t   2
                                                                                                            arctg
                                                                                                                    2
                                                                                                                       .
                           0        1                     1                                             2

        Найдем корреляционную функцию с. п. Y(t) по формуле (1):
            K Y (t1 , t 2 ) = K X (t1 , t 2 ) + K Z (t1 , t 2 ) + K X ,Z (t1 , t 2 ) + K X ,Z (t 2 , t1 ) =
                     2             1       t1       t2   1          t2   1           t1
        =                        +   arctg    arctg    +      arctg    +       arctg    =
            (4 + t12 )(4 + t 22 ) 2        2        2 4 + t12       2 4 + t 22       2

                                    ⎛ 1       1     t ⎞⎛ 1         1     t ⎞
                                = 2⎜⎜        + arctg 1 ⎟⎟⎜⎜       + arctg 2 ⎟⎟ .
                                    ⎝ 4 + t1 2       2 ⎠⎝ 4 + t 2 2
                                           2                    2
                                                                          2⎠
        Найдем дисперсию с. п. Y(t) по свойству 6) пункта 4:
                                                                                      2
                                                             ⎛ 1      1     t⎞
                                   DY (t ) = K Y (t , t ) = 2⎜       + arctg ⎟ .
                                                             ⎝ 4+t
                                                                   2
                                                                      2     2⎠
        Найдем нормированную корреляционную функцию с. п. Y(t)
                                   ⎛ 1         1     t ⎞⎛ 1           1     t ⎞
                                 2⎜⎜          + arctg 1 ⎟⎟⎜⎜         + arctg 2 ⎟⎟
                                      4 + t1 2
                                            2
                                                      2 ⎠⎝ 4 + t 2 2
                                                                   2
                                                                             2⎠
                ρ Y (t1 , t 2 ) = ⎝                                               = ±1.
                                    ⎛ 1        1     t1 ⎞⎛ 1          1     t2 ⎞
                                 2 ⎜⎜         + arctg ⎟⎟⎜⎜           + arctg ⎟⎟
                                    ⎝ 4 + t 2
                                            1  2      2  ⎠⎝  4 + t 2
                                                                   2  2      2⎠

        При этом знак ρY (t1 , t2 ) совпадает со знаком выражения

                                 ⎛ 1         1       t1 ⎞⎛ 1        1       t2 ⎞
                                 ⎜                      ⎟⎜                     ⎟
                                 ⎜ 4 + t 2 + 2 arctg 2 ⎟⎜ 4 + t 2 + 2 arctg 2 ⎟ .
                                 ⎝      1               ⎠⎝      2              ⎠
        8. Доказать, что с. п.
                X (t ) = (U + 2) cos 7t − V sin 7t , где U ∈ N (−2, 3 ), V∈ R (−3, 3) ,

Страницы