Элементы теории случайных процессов. Син Л.И. - 22 стр.

                                                   22



                           2 +∞                               2 +∞ 64 sin 2 4τ cos ωτ
            S X (ω ) =          ∫   k X (τ ) cos ωτdτ =              ∫                        dτ .
                         π      0                            π       0            τ2
    По формуле 15 приложения 1 при a = 4, m = ω имеем

              ⎧128 π ⎛ | ω | ⎞                             ⎧32(8− | ω |)                     при | ω   |< 8,
              ⎪                             при | ω      |< 8,
   S X (ω ) = ⎨ π 2 ⎜⎝       ⎟
                       4−
                          2 ⎠                             =⎨
              ⎪⎩ 0                                         ⎩0                                при | ω   |≥ 8.
                                            при | ω |≥ 8.

    б) По формуле (10) п. 10 имеем

                   2 +∞                        2 +∞ − 4τ
      S X (ω ) =       ∫   k X (τ ) cos ωτ dτ = ∫ 12e (1 + 4τ ) cos ωτ dτ .
                   π   0                                  π      0

                       24 ⎛⎜ + ∞ − 4τ               +∞
                                                           − 4τ           ⎞
                   =          ∫ e     cos ωτ dτ + 4  ∫ τ e      cos ωτ dτ ⎟.
                       π ⎜⎝ 0                        0
                                                                          ⎟
                                                                          ⎠
    Первый из этих интегралов вычислим по формуле 19, а второй − по фор-
муле 20 приложения 1:

                               24 ⎛ 4             16 − ω 2                  ⎞        3072
             S X (ω ) =           ⎜⎜        + 4                             ⎟⎟ =               .
                               π ⎝ 16 + ω 2     (16 + ω 2 ) 2                ⎠   π (16 + ω 2 2
                                                                                            )

    12. Найти корреляционную функцию стационарного с. п. X(t), если его
спектральная плотность
                ⎧ ω2
                ⎪1 −                при ω ≤ 4,
    а) SX (ω) = ⎨ 16
                ⎪⎩0                 при ω > 4 ;

                  10 ⎛      1                1                       ⎞
    б) SX (ω) =      ⎜⎜              +                               ⎟⎟ .
                  π ⎝ 4 + (3 − ω ) 2
                                       4 + (3 + ω ) 2                 ⎠
    Решение. а) Воспользуемся формулой (11) п. 10
                         +∞                                   4
                                S X (ω ) cos ωτ dω = ∫ ⎛⎜1 − ω16 ⎞⎟ cos ωτ dω =
                                                               2
            k X (τ ) =     ∫
                           0                         0
                                                        ⎝         ⎠
                                4                        4
                                                               2
                           = ∫ cos ωτ dω             1
                                                  − 16   ∫ω          cos ωτ dω .
                                0                        0