Элементы теории случайных процессов. Син Л.И. - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИСОиП ДГТУ | Шахты

Составители: 

Рубрика: 

24
Из-за четности функции k
X
(τ) при всех
R
∈
τ
получаем
.3cose5)(
||2
ττ
τ
−
=
X
k
13. На вход стационарной линейной динамической системы, описываемой
дифференциальным уравнением
y″ + 8y′+ 15y = 5x′ +10x, подается стационар-
ный случайный процесс
X(t) с математическим ожиданием m
X
= 5 и спектраль-
ной плотностью
S
X
(ω) = sin7ω/ω. Найти математическое ожидание и диспер-
сию случайного процесса
Y(t) на выходе системы в установившемся режиме.
Решение. По формуле 1) п. 11 найдем математическое ожидание
.
3
10
5
15
10
0
0
=⋅==
XY
m
a
b
m
Дисперсию будем вычислять по формуле 2) п. 11:
∫
+∞
=
0
2
)()(
ωωω
dSiФD
XY
.
Сначала составим передаточную функцию
.
)5)(3(
105
158
105
)Ф(
2
++
+
=
++
+
=
pp
p
pp
p
p
Затем найдем амплитудно-частотную характеристику системы
.
)25)(9(
10025
)5)(3(
105
)5)(3(
105
)Ф()Ф(|)Ф(|
2
2
2
++
+
=
+−+−
+−
⋅
++
+
=−=
ωω
ω
ωω
ω
ωω
ω
ωωω
ii
i
ii
i
iii
Подставив это выражение в формулу дисперсии, получим
.
7sin
)25)(9(
10025
0
22
2
∫
+∞
⋅
++
+
=
ω
ω
ω
ωω
ω
dD
Y
Для вычисления этого интеграла разложим амплитудно-частотную харак-
теристику на сумму простейших дробей.
⇒
++
+++
=
+
+
+
=
++
+
)25)(9(
925
259)25)(9(
10025
22
22
2222
2
ωω
ωω
ωωωω
ω
BBAABA
.
16
525
,
16
125
100925
,25
10025925
222
=−=⇒
⎩
⎨
⎧
=+
=+
⇒+=+++ BA
BA
BA
BBAA
ωωω
                                                      24



    Из-за четности функции kX (τ) при всех τ ∈ R получаем
                                        k X (τ ) = 5 e −2 |τ | cos 3τ .

    13. На вход стационарной линейной динамической системы, описываемой
дифференциальным уравнением y″ + 8y′+ 15y = 5x′ +10x, подается стационар-
ный случайный процесс X(t) с математическим ожиданием mX = 5 и спектраль-
ной плотностью SX (ω) = sin7ω/ω. Найти математическое ожидание и диспер-
сию случайного процесса Y(t) на выходе системы в установившемся режиме.
    Решение. По формуле 1) п. 11 найдем математическое ожидание
                                                b0     10    10
                                   mY =            mX = ⋅ 5 = .
                                                a0     15     3
    Дисперсию будем вычислять по формуле 2) п. 11:
                                            +∞

                                                ∫ Ф(iω )
                                                           2
                                   DY =                        S X (ω ) dω .
                                                0
    Сначала составим передаточную функцию
                                            5 p + 10       5 p + 10
                            Ф( p) =                   =                 .
                                          p + 8 p + 15 ( p + 3)( p + 5)
                                            2



    Затем найдем амплитудно-частотную характеристику системы
                                      5 iω + 10         − 5 iω + 10      25ω 2 + 100
 | Ф(iω ) | 2 = Ф(iω ) Ф(−iω ) =                   ⋅                  =                  .
                                   (iω + 3)(iω + 5) (−iω + 3)(−iω + 5) (ω + 9)(ω 2 + 25)

    Подставив это выражение в формулу дисперсии, получим
                                   +∞
                                         25ω 2 + 100   sin 7ω
                           DY =    ∫0 (ω + 9)(ω + 25) ω dω.
                                        2        2
                                                     ⋅

    Для вычисления этого интеграла разложим амплитудно-частотную харак-
теристику на сумму простейших дробей.

             25ω 2 + 100              A        B      Aω 2 + 25 A + Bω 2 + 9 B
                               =          +         =                          ⇒
         (ω 2 + 9)(ω 2 + 25)       ω 2 + 9 ω 2 + 25     (ω 2 + 9)(ω 2 + 25)

                                              ⎧ A + B = 25,           125     525
     Aω 2 + 25 A + Bω 2 + 9 B = 25ω 2 + 100 ⇒ ⎨                 ⇒ A=−     ,B=     .
                                              ⎩25 A + 9 B = 100       16      16

Страницы