Элементы теории случайных процессов. Син Л.И. - 26 стр.

                                                             26


      15. На вход стационарной линейной динамической системы, описываемой
данным дифференциальным уравнением, подается стационарный с. п. X(t) со
спектральной плотностью SX (ω). Найти корреляционную функцию kY (τ) с. п.
Y(t) на выходе системы в установившемся режиме.
                                              10 ⎛      1                1                      ⎞
      а) y ′ + y = 5 x, S X (ω ) =               ⎜               +                              ⎟.
                                                 ⎜
                                              π ⎝ 4 + (3 − ω ) 2
                                                                   4 + (3 + ω ) 2               ⎟
                                                                                                ⎠
                                                         5
      б) y ′ + 2 y = x,          S X (ω ) =                           .
                                              π (25 + ω 2 ) 2

      Решение. а) Воспользуемся формулой 4) п. 11.
                                                  +∞

                                                  ∫ Ф(iω )           S X (ω ) e iωτ dω .
                                              1                  2
                                 k Y (τ ) =   2
                                                  −∞

      Найдем амплитудно-частотную характеристику системы
                                                               5           5
                                   | Ф(iω ) |2 =                        = 2 .
                                                       (iω + 1)(−iω + 1) ω + 1
                            +∞
                      1      5 10 ⎛          1              1                                    ⎞ iωτ
            k Y (τ ) = ∫ 2           ⎜⎜              +                                           ⎟⎟ e dω =
                      2 −∞ (ω + 1) π ⎝ 4 + (3 − ω ) 2 4 + (3 + ω ) 2                              ⎠
                  25 +∞               e iωτ dω                       25 +∞               e iωτ dω
              =
                  π    ∫       2
                                   + 1)(4 + (3 − ω ) 2 )
                                                                 +
                                                                     π    ∫        2
                                                                                       + 1)(4 + (3 + ω ) 2 )
                                                                                                               .
                       −∞ (ω                                              −∞ (ω

Во втором интеграле сделаем замену u = −ω . Тогда
                           25 +∞         e iωτ dω            25 +∞        e −iuτ du
                           π −∫∞ (ω 2 + 1)(4 + (3 − ω ) 2 ) π −∫∞ (u 2 + 1)(4 + (3 − u) 2 )
             k Y (τ ) =                                    +                                =


                   50 +∞           cos ωτ dω                     50        +∞
                                                                                         e iωτ dω
               =
                   π    ∫ (ω 2 + 1)(4 + (3 − ω ) 2 )         =
                                                                 π
                                                                      Re      ∫ (ω 2 + 1)(4 + (3 − ω ) 2 ) .
                       −∞                                                  −∞

     Последний интеграл вычислим по формуле (4) приложения 2.
     Найдем все полюса подынтегральной функции с положительными мни-
мыми частями: ω2 +1= 0 ═>ω0 = i , 4 + (3 −ω)2 = 0 ═> ω1 = 3 + 2i. Все они явля-
ются простыми полюсами.
 +∞
            eiωτ dω                  ⎛              eiωτ                              eiωτ             ⎞
  ∫ (ω 2 + 1)(4 + (3 − ω ) 2 ) = 2πi⎜⎜ Res                          + Res                              ⎟=
                                        i (ω 2 + 1)(4 + (3 − ω ) 2 ) 3 + 2i (ω 2 + 1)(4 + (3 − ω ) 2 ) ⎟
 −∞                                  ⎝                                                                 ⎠