Элементы теории случайных процессов. Син Л.И. - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИСОиП ДГТУ | Шахты

Составители: 

Рубрика: 

27
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−++−+
+
−++−+
=
+ i
i
i
i
i
23
2222
)3)(1(2))3(4(2
e
)3)(1(2))3(4(2
e
2
ωωωωωωωω
π
ωτωτ
.
21
ee
122
e
62)14129(2
ee
)612(2
e
2
2323
iiiiii
i
ii
+
+
−
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⋅+−+
+
−
=
−−−−
ττττττ
ππ
π
Таким образом,
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+
−
=
−−
ii
k
i
Y
21
ee
122
e
6
Re
50
)(
23
τττ
ππ
π
τ
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
++
+
=
−−
ττ
ττ
e
5
21
)3sin3(cos
5
2
2Ree
6
25 i
i
i
(
)
ττ
ττ
−−
++ e)3sin23(cos4e
6
5
.
Из-за четности функции k
X
(τ) при всех действительных значениях τ по-
лучаем
=)(
τ
Y
k
()
||||
e|)|3sin23(cos4e
6
5
ττ
ττ
−−
++
.
б) Найдем амплитудно-частотную характеристику системы
.
4
1
)2)(2(
1
|)Ф(|
2
2
+
=
+−+
=
ωωω
ω
ii
i
По формуле 4) п. 11 получаем
.cos
)25)(4(
15
)(
0
222
ωωτ
ωω
π
τ
dk
Y
∫
+∞
++
=
Дробь в подынтегральном выражении разложим на сумму простейших
дробей методом неопределенных коэффициентов.
=
+
+
+
+
+
=
++
2222222
)25(254)25)(4(
1
ωωωωω
CBA
222
22222
)25)(4(
)4()25)(4()25(
ωω
ωωωω
++
++++++
=
CBA
.
Приравняем числители:
.1)4()25)(4()25(
22222
=++++++
ωωωω
CBA
Под-
ставляя в это уравнение поочередно значения ω = 0, ω = 5i, ω = 2i, получим
систему уравнений 
                                                          27



     ⎛                   e iωτ                                        e iωτ                           ⎞
= 2πi⎜                                            +                                                   ⎟=
     ⎜ 2ω (4 + (3 − ω ) 2 ) + 2(ω 2 + 1)(ω − 3)     2ω (4 + (3 − ω ) 2 ) + 2(ω 2 + 1)(ω − 3)          ⎟
     ⎝                                          i                                              3+ 2 i ⎠


                 ⎛ e −τ                  e 3iτ e −2τ         ⎞ π e −τ π e 3iτ e −2τ
                 ⎜
           = 2π i⎜               +                           ⎟=
                   2i (12 − 6i )   2(9 + 12 i −  4 + 1) ⋅ 2i ⎟ 6 2 − i + 12 1 + 2i .
                 ⎝                                           ⎠
      Таким образом,

                                           50   ⎛ π e −τ   π e 3iτ e −2τ      ⎞
                            k Y (τ ) =       Re⎜⎜        +                    ⎟⎟ =
                                           π    ⎝ 6 2 − i 12 1 + 2i            ⎠

  =
      25 −τ ⎛ 2 + i
        e Re⎜ 2     + (cos 3τ + i sin 3τ )
                                           1 − 2i −τ ⎞ 5 −τ
                                                                          (
                                                 e ⎟ = e 4 + (cos 3τ + 2 sin 3τ ) e −τ .           )
      6     ⎝ 5                              5       ⎠ 6
      Из-за четности функции kX(τ) при всех действительных значениях τ по-
лучаем

                         kY (τ ) = e −|τ | (4 + (cos 3τ + 2 sin 3 | τ |) e −|τ | ) .
                                       5
                                       6
       б) Найдем амплитудно-частотную характеристику системы
                                                        1           1
                               | Ф(iω ) |2 =                     = 2    .
                                                (iω + 2)(−iω + 2) ω + 4

      По формуле 4) п. 11 получаем
                                           +∞
                                       5                   1
                          k Y (τ ) =
                                       π   ∫ (ω
                                           0
                                                  2
                                                      + 4)(25 + ω 2 ) 2
                                                                        cos ωτ dω.

    Дробь в подынтегральном выражении разложим на сумму простейших
дробей методом неопределенных коэффициентов.

                          1            A      B            C
                                    = 2   +         +               =
                  (ω + 4)(25 + ω )
                     2          2 2
                                     ω + 4 25 + ω 2
                                                      (25 + ω 2 ) 2

                          A(25 + ω 2 ) 2 + B(ω 2 + 4)(25 + ω 2 ) + C (ω 2 + 4)
                     =                                                         .
                                          (ω 2 + 4)(25 + ω 2 ) 2

    Приравняем числители: A(25 + ω 2 ) 2 + B(ω 2 + 4)(25 + ω 2 ) + C (ω 2 + 4) = 1. Под-
ставляя в это уравнение поочередно значения ω = 0, ω = 5i, ω = 2i, получим
систему уравнений

Страницы