Элементы теории случайных процессов. Син Л.И. - 25 стр.

                                                        25



                                   25ω 2 + 100               125 1     525   1
    Таким образом,                                     =−            +          , и, следова-
                              (ω + 9)(ω + 25)
                                   2            2
                                                             16 ω + 9 16 ω + 25
                                                                 2         2


тельно,
                                           +∞                         +∞
                          125                  sin 7ω          525               sin 7ω
                   DY = −
                          16               ∫0 ω (ω 2 + 9) dω + 16     ∫ ω (ω
                                                                      0
                                                                                   2
                                                                                     + 25)
                                                                                           dω .

    Каждый из этих интегралов вычислим по формуле 8 приложения 1 (в пер-
вом интеграле положим m = 7, a =3, во втором − m = 7, a = 5):

          125 π                    525 π                      π
DY = −             (1 − e −7⋅3 ) +           (1 − e −7⋅5 ) =     (64 + 125 e −21 − 189 e −35 ).
          16 2 ⋅ 9                 16 2 ⋅ 25                 288

    14. На вход стационарной линейной динамической системы, описываемой
дифференциальным уравнением y″+ 4y′+ 4y = 5x′, подается стационарный слу-
чайный процесс X(t) с корреляционной функцией kX (τ)=16exp(−4|τ|)cos3τ. Найти
спектральную плотность SY (ω) случайного процесса Y(t) на выходе системы в
установившемся режиме.
     Решение. Сначала найдем спектральную плотность с. п. X(t) по формуле
(10) п. 10
                              +∞                                 +∞
                          2                                  2
                              ∫k                                 ∫ 16 e
                                                                          − 4τ
             S X (ω ) =                    (τ ) cos ωτdτ =                       cos 3τ cos ωτ dτ .
                          π                                  π
                                       X
                               0                                 0

    По формуле 22 приложения 1 при a = 4, m =3, n = ω имеем
                  32           4(16 + 9 + ω 2 )                                   128(25 + ω 2 )
     S X (ω ) =                                                  =                                    .
                  π (16 + (3 − ω ) 2 )(16 + (3 + ω ) 2 ) π (16 + (3 − ω ) 2 )(16 + (3 + ω ) 2 )
    Найдем передаточную функцию и амплитудно-частотную характеристику
                                    5p          5p                         25ω 2
                    Ф( p) =                 =           ⇒ | Ф(i ω ) |2
                                                                       =             .
                               p 2 + 4 p + 4 ( p + 2) 2                  (ω 2 + 4) 2

    Наконец, по формуле 3) п. 11 получим
                                                3200ω 2 (25 + ω 2 )
                    S Y (ω ) =                                                       .
                                   π (16 + (3 − ω ) 2 )(16 + (3 + ω ) 2 )(ω 2 + 4) 2