Элементы теории случайных процессов. Син Л.И. - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИСОиП ДГТУ | Шахты

Составители: 

Рубрика: 

23
Для нахождения интеграла
∫
4
0
2
cos
ωωτω
d
воспользуемся формулой 25
приложения 1.
()
=−+−=
4
0
22
3
sin)2(cos2
16
1
4sin
1
)(
ωττωωτωτ
τ
τ
τ
τ
X
k
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=+−−=
τ
τ
τ
ττ
τ
τ
τ
τ
τ
τ
τ
4cos
4
4sin
2
1
8
4sin4sin
2
4cos
4sin
1
232
,
если
τ
≠ 0. При
τ
= 0 получим
.
3
8
1)0(
4
0
16
2
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=
∫
ω
ω
dk
X
б) Воспользуемся формулой (9) п. 10
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++
+
−+
==
∫∫
+∞
∞−
+∞
∞−
ω
ωω
π
ωωτ
ωτωτ
ddSk
ii
XX
e
)3(4
1
)3(4
15
e)()(
22
2
1
∫∫
+∞
∞−
+∞
∞−
++
+
−+
.
)3(4
e
5
)3(4
e
5
22
ω
ω
π
ω
ω
π
ωτωτ
dd
ii
При
τ
≥ 0 эти интегралы вычислим при помощи вычетов по формуле (4) прило-
жения 2. Сначала найдем полюсы подынтегральных функций с положительной
мнимой частью:
4 + (3
− ω)
2
= 0 ═> ω
1
= 3 + 2i, 4 + (3 + ω)
2
= 0 ═> ω
2
= −3 + 2i.
Имеем
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++
+
−+
=
+−+
2
23
2
23
)3(4
e
Res
)3(4
e
Res
5
2)(
ωω
π
πτ
ωτωτ
i
i
i
i
X
ik
.
Вычеты вычислим по формуле (1) приложения 2
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+
−−
=
−−−
+−=+=
ii
iik
ii
i
i
i
i
X
4
ee
4
ee
10
)3(2
e
)3(2
e
10)(
2323
2323
ττττ
ω
ωτ
ω
ωτ
ωω
τ
.0,3cose5
2
ee
e5
2
33
2
≥=
+
=
−
−
−
ττ
τ
τ
τ
τ
ii
                                                                23


                                                       4
                                                            2
     Для нахождения интеграла                          ∫ω       cos ωτ dω воспользуемся формулой 25
                                                       0
приложения 1.
                  1
        k X (τ ) = sin 4τ −
                  τ
                              1
                            16τ 3
                                                   (
                                  2ωτ cos ωτ + (ω 2τ 2 − 2) sin ωτ                              )   4

                                                                                                    0
                                                                                                        =

               1               cos 4τ sin 4τ sin 4τ   1 ⎛ sin 4τ          ⎞
           =       sin 4τ −          −      +       = 2⎜         − cos 4τ ⎟ ,
               τ                2τ 2
                                        τ     8τ 3
                                                     2τ ⎝ 4τ              ⎠
     если τ ≠ 0. При τ = 0 получим
                                                  4
                                                                      8
                                        k X (0) = ∫ ⎛⎜ 1 − ω16 ⎞⎟ dω = .
                                                             2

                                                  0
                                                     ⎝          ⎠     3

     б) Воспользуемся формулой (9) п. 10
                       +∞
                                      iωτ       5 +∞ ⎛       1                1               ⎞ iωτ
      k X (τ ) =   1
                       ∫ S X (ω ) e         dω = ∫ ⎜⎜                 +                       ⎟ e dω =
                                                                                              ⎟
                   2
                       −∞                       π −∞ ⎝ 4 + (3 − ω ) 2
                                                                        4 + (3 + ω ) 2        ⎠
                                5     +∞
                                              e iωτ dω               5   +∞
                                                                              e iωτ dω
                                π     ∫ 4 + (3 − ω ) 2          +
                                                                     π   ∫ 4 + (3 + ω ) 2 .
                                      −∞                                 −∞

При τ ≥ 0 эти интегралы вычислим при помощи вычетов по формуле (4) прило-
жения 2. Сначала найдем полюсы подынтегральных функций с положительной
мнимой частью:
           4 + (3 − ω)2 = 0 ═> ω1 = 3 + 2i, 4 + (3 + ω)2 = 0 ═> ω2 = −3 + 2i.
     Имеем

                                       5 ⎛⎜           eiωτ                   eiωτ        ⎞
                                                                                         ⎟.
                   k X (τ ) = 2π i          Res                 + Res
                                       π ⎜⎝ 3+ 2i 4 + (3 − ω ) 2 − 3+ 2i 4 + (3 + ω ) 2 ⎟⎠
     Вычеты вычислим по формуле (1) приложения 2
                ⎛ e iωτ                    e iωτ              ⎞          3iτ − 2τ
                                                                                    e −3iτ e −2τ
 k X (τ ) = 10i ⎜                      +                      ⎟ = 10i⎛⎜ e e       +
                                                                                                            ⎞
                                                                                                            ⎟=
                ⎜ − 2(3 − ω )            2(3 + ω ) ω =−3+ 2i ⎟⎠       ⎜ 4i               4i                 ⎟
                ⎝             ω =3+ 2i                                ⎝                                     ⎠

                                  −2τ      e 3iτ + e −3iτ
                            =5e                           = 5 e −2τ cos 3τ , τ ≥ 0.
                                                  2

Страницы