Элементы теории случайных процессов. Син Л.И. - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИСОиП ДГТУ | Шахты

Составители: 

Рубрика: 

21
Подставив эту функцию в (5), получим
−+−++−= )91ln(43arctg24)91ln(43arctg24),(
2
222
2
11121
ttttttttK
Z
=−++−−− ))(91ln(4)(3arctg)(24
2
121212
tttttt
.
)91)(91(
)(91
ln4))(3arctg)(3arctg3arctg(24
2
2
2
1
2
12
12122211
tt
tt
tttttttt
++
−+
+−−−+=
Найдем дисперсию свойству 10) п. 8:
).91ln(83arctg48)(2)(
2
ttttItD
Z
+−==
Найдем взаимную корреляционную функцию по свойству 11) п. 8
)).(3arctg3(arctg24
)(91
72
)(),(
121
0
2
1
0
121,
22
ttt
t
d
dtkttK
tt
XZX
−+=
−+
=−=
∫∫
τ
τ
ττ
б) При t ≥ 0 имеем
t
tt
tdtdttI
−−−
+−=−=−=
∫∫
e1e)(e)()(
00
||
ττττ
ττ
(интеграл
вычислен по частям).
По формуле (5) имеем
)e1(e1e1),(
)(
212121
2121
tttt
Z
ttttttK
−−−−
+−−−+−++−=
=
=
.eee12
1221
2
tttt
t
−−−
−++−
)e1(2),()(
t
ZZ
tttKtD
−
+−==
.
При условии 0
≤ t
2
≤ t
1
по формуле 11) п.8 имеем
121
2
1
2
1
eeee),(
00
||
21,
ttt
t
t
t
t
ZX
ddttK
−+−+−−−
−===
∫∫
ττ
ττ
.
Заметим, что это вычисление верно и при более слабых условиях:
t
2
≤ t
1
, 0≤ t
1
.
11. k
X
(τ) − корреляционная функция стационарного с. п. X(t). Найти его
спектральную плотность.
а) k
X
(τ)=
,
4sin
64
2
2
τ
τ
б) k
X
(τ)= 12exp(−4|τ|)(1+4|τ|).
Решение. а) Воспользуемся формулой (10) п. 10. 
                                                         21


    Подставив эту функцию в (5), получим
        K Z (t1 , t 2 ) = 24t1 arctg 3t1 − 4 ln(1 + 9t12 ) + 24t 2 arctg 3t 2 − 4 ln(1 + 9t 22 ) −

                        − 24(t2 − t1 ) arctg 3(t2 − t1 ) + 4 ln(1 + 9(t2 − t1 )2 ) =

                                                                                                 1 + 9(t2 − t1 )2
     = 24(t1 arctg 3t1 + t2 arctg 3t2 − (t2 − t1 ) arctg 3(t2 − t1 ) ) + 4 ln                                         .
                                                                                               (1 + 9t12 )(1 + 9t22 )
    Найдем дисперсию свойству 10) п. 8:
                               DZ (t ) = 2I (t ) = 48t arctg3t − 8 ln(1 + 9t 2 ).

    Найдем взаимную корреляционную функцию по свойству 11) п. 8
                                                        72dτ
                         t2                       t2
      K X , Z (t1 , t 2 ) = ∫ k X (t1 − τ )dτ =   ∫ 1 + 9(t                    =24(arctg 3 t1 + arctg 3(t 2 − t1 )).
                         0                        0           1   −τ ) 2
                                              t                            t
    б) При t ≥ 0 имеем I (t ) = ∫ (t − τ ) e −|τ | dτ = ∫ (t − τ ) e −τ dτ = t − 1 + e −t (интеграл
                                              0                            0
вычислен по частям).
    По формуле (5) имеем

               K Z (t1 , t 2 ) = t1 − 1 + e −t1 + t 2 − 1 + e −t2 − (t1 − t 2 − 1 + e − (t1 −t2 ) ) =
                                                  −t    −t    t −t
                                    = 2t 2 − 1 + e 1 + e 2 − e 2 1 .
                                   DZ (t ) = K Z (t , t ) = 2(t − 1 + e −t ) .
    При условии 0 ≤ t2 ≤ t1 по формуле 11) п.8 имеем
                                         t2                       t2
                      K X ,Z (t1 , t 2 ) = ∫ e −|t1−τ | dτ = ∫ e −t1+τ dτ = e −t1 +t2 − e −t1 .
                                          0                       0


Заметим, что это вычисление верно и при более слабых условиях: t2 ≤ t1, 0≤ t1.

    11. kX (τ) − корреляционная функция стационарного с. п. X(t). Найти его
спектральную плотность.
                 sin 2 4τ
    а) kX (τ)= 64 2 ,
                   τ
    б) kX (τ)= 12exp(−4|τ|)(1+4|τ|).
    Решение. а) Воспользуемся формулой (10) п. 10.

Страницы