Элементы теории случайных процессов. Син Л.И. - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИСОиП ДГТУ | Шахты

Составители: 

Рубрика: 

15
.2ch25),()(
2
tttKtD
YY
==
Найдем нормированную корреляционную функцию
.1
2ch2ch25
2ch2ch25
2ch252ch25
2ch2ch25
)()(
),(
),(
21
21
2
2
1
2
21
21
21
21
====
tt
tt
tt
tt
tt
ttK
tt
YY
Y
Y
σσ
ρ
Найдем взаимную корреляционную функцию K
X,Y
(t
1
, t
2
) по свойству 3) п.6:
.2ch2sh5.12)2sh2sh25.6(),(),(
2121
2
21
2
21,
tttt
t
ttK
t
ttK
XYX
=
∂
∂
=
∂
∂
=
Найдем нормированную взаимную корреляционную функцию:
===
2
2
1
2
21
21
21,
21,
2ch252sh25.6
2ch2sh5.12
)()(
),(
),(
tt
tt
tt
ttK
tt
YX
YX
YX
σσ
ρ
⎩
⎨
⎧
<−
>
==
.0если,1
0если,1
2ch2sh
2ch2sh
1
1
21
21
t
t
tt
tt
5. X(t) = t+1+ t
2
U − V cos2t, где U
∈
В(10, 0.2) ,V
∈
N(3;2) – некоррелирован-
ные случайные величины, Y(t)= 2X(t) – t
2
X′(t). Найти математическое ожидание
m
Y
(t), корреляционную функцию K
Y
(t
1
,t
2
), дисперсию D
Y
(t), не дифференцируя
X(t).
Решение. Сначала найдем м. о. и дисперсии случайных величин U, V:
,6.1)2.01(2.010][,22.010][
=
−
⋅
⋅=
=
⋅= UDUM
.42][,3][
2
=== VDVM
Найдем математическое ожидание с. п. X(t)
.2cos321][2cos][1)(
22
tttVtMUMtttm
X
−++=−⋅++=
Найдем корреляционную функцию с.п. X(t) по формуле (2)
=
+
=
−
),(),(),(
212cos2121
2
ttKttKttK
tV
Ut
X
.2cos2cos46.1][2cos2cos][
21
2
2
2
121
2
2
2
1
ttttVDttUDtt +=+=
Найдем математическое ожидание производной с. п. X(t)
.2sin641)2cos321()(
2
ttttttm
X
++=
′
−++=
′
                                                                15



                                          DY (t ) = K Y (t , t ) = 25 ch 2 2t.
        Найдем нормированную корреляционную функцию

                                K Y (t1 , t 2 )       25 ch 2t1 ch 2t 2       25 ch 2t1 ch 2t 2
          ρ Y (t1 , t 2 ) =                       =                         =                   = 1.
                              σ Y (t1 )σ Y (t 2 )   25 ch 2 2t1 25 ch 2 2t 2 25 ch 2t1 ch 2t 2

        Найдем взаимную корреляционную функцию KX,Y (t1, t2) по свойству 3) п.6:
                                ∂                      ∂
        K X ,Y (t1 , t 2 ) =        K X (t1 , t 2 ) =      (6.25 sh 2t1 sh 2t 2 ) = 12.5 sh 2t1 ch 2t 2 .
                               ∂ t2                   ∂ t2
        Найдем нормированную взаимную корреляционную функцию:

                                           K X ,Y (t1 , t 2 )          12.5 sh 2t1 ch 2t 2
                ρ X ,Y (t1 , t 2 ) =                            =                                 =
                                          σ X (t1 )σ Y (t 2 )        6.25 sh 2 2t1 25 ch 2 2t 2

                                           sh 2t1 ch 2t 2 ⎧ 1, если t1 > 0
                                      =                  =⎨
                                           sh 2t1 ch 2t 2 ⎩− 1, если t1 < 0.


        5. X(t) = t+1+ t2U − V cos2t, где U ∈ В(10, 0.2) ,V ∈ N(3;2) – некоррелирован-
ные случайные величины, Y(t)= 2X(t) – t2X′(t). Найти математическое ожидание
mY(t), корреляционную функцию KY(t1,t2), дисперсию DY(t), не дифференцируя
X(t).
        Решение. Сначала найдем м. о. и дисперсии случайных величин U, V:
    M [U ] = 10 ⋅ 0.2 = 2, D[U ] = 10 ⋅ 0.2 ⋅ (1 − 0.2) = 1.6, M [V ] = 3, D[V ] = 2 2 = 4.
        Найдем математическое ожидание с. п. X(t)

              m X (t ) = t + 1 + t 2 ⋅ M [U ] − cos 2tM [V ] = t + 1 + 2t 2 − 3 cos 2t.
        Найдем корреляционную функцию с.п. X(t) по формуле (2)
                              K X (t1 , t 2 ) = K t 2 U (t1 , t 2 ) + K −cos 2tV (t1 , t 2 ) =

             = t12 t 22 D[U ] + cos 2t1 cos 2t 2 D[V ] = 1.6t12 t 22 + 4 cos 2t1 cos 2t 2 .
        Найдем математическое ожидание производной с. п. X(t)

                         m X ′ (t ) = (t + 1 + 2t 2 − 3 cos 2t )′ = 1 + 4t + 6 sin 2t.

Страницы