Элементы теории случайных процессов. Син Л.И. - 12 стр.

                                                        12


     В итоге получим
                                        m X ( t ) = − 3 .6 e − 3 t + t 2 .
    Теперь найдем корреляционную функцию. По свойству 3) п. 4 прибавле-
ние к с.п. неслучайной функции t2 не влияет на корреляционную функцию. По-
этому
                       K X (t1 , t 2 ) = K sh t ⋅U − 3 e −3t V (t1 , t 2 ) .

    Так как с.п. U sht и –3е−3t V некоррелированы из-за некоррелированности
случайных величин U, V, то по формуле (2) получаем

                         K X (t1 , t 2 ) = K sh t⋅U (t1 , t 2 ) + K −3 e−3t V (t1 , t 2 ) .

     Теперь по свойству 4) и 5) пункта 4 имеем
                          K sh t ⋅U (t1 , t 2 ) = sh t1 sh t 2 D[U ] = 3 sh t1 sh t 2 ,

                 K −3 e − 3t V (t1 , t 2 ) = −3 e −3t1 (−3) e −3t 2 D[V ] = 10.8 e −3t1 e −3t 2 .

     Таким образом,
                            K X (t1 , t 2 ) = 3 sh t1 sh t 2 + 10.8 e −3(t1 +t 2 ) .
     Дисперсию найдем по свойству 6) пункта 4:

                              DX (t ) = K X (t , t ) = 3 sh 2t + 10.8 e −6 t .

     2. Найти корреляционную функцию КZ (t1,t2) и дисперсию DZ (t), если X(t),
Y(t) – некоррелированные с.п., Z(t) = t2X(t) − Y(t) sin2t+ cost, и даны корреляци-
онные функции КX (t1,t2) = 1+cos(t2–t1), КY (t1,t2) = exp(–|t2–t1|).
      Решение. По свойству 3) п.4 прибавление к с.п. неслучайной функции cost
не влияет на корреляционную функцию. Далее, из-за некоррелированности с.п.
t2X(t) и −Y(t) sin2t по формуле (2) имеем

                        K Z (t1 , t 2 ) = K t 2 X (t1 , t 2 ) + K −sin 2tY (t1 , t 2 ) .
     Теперь по свойству 4) п.4 получаем
            K Z (t1 , t 2 ) = t12 t 22 K X (t1 , t 2 ) + (− sin 2t1)(− sin 2t 2 ) K Y (t1 , t 2 ) =

                = t12 t 22 (1 + cos(t 2 − t1)) + sin 2t1 sin 2t 2 exp(− | t 2 − t1 |) .
     Дисперсию найдем по свойству 6) п.4 :

         D Z (t ) = K Z (t , t ) = t 4 (1 + cos 0) + sin 2t sin 2t e 0 = 2t 4 + sin 2 2t .