ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
18
Решение.
Определим функцию у:
>
y:=(x^3 – 27*x + 54) / x^3;
Результат на экране:
3
3
5427
:
x
xx
y
+−
=
Строим график, подбирая подходящие отрезки задания значений для x и y:
> plot(y1, x= –10. .10, y= –10. .10);
По графику (рис. 5.1) видно, что функция имеет два корня. Они приближенно
равны –6 и 3.
6. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
6.1. Найти пределы.
1)
3
2
3
3
1213
lim
−
+−+
→
x
xx
x
2)
)3cos(1
sin
lim
0
π
−+
→
x
xx
x
3)
)1(arctg
ee
lim
2
1
−
−
→
x
x
x
4)
))/3(tg1ln(1
2
2
2
sin1lim
x
x
x
+
∞→
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
5)
x
x
x
x
1
cos5sin
1
arctglim
2
+
∞→
6)
2
1
2
2
0
arcsin
arctg
lim
x
x
x
x
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
→
7)
)5(arcsin
2
ctglim
00
x
x
x +→
8)
))(2(arcsin
2
tglim
0
π
π
−
−→
x
x
x
6.2. Найти производные 1-го и 2-го порядков с помощью функции diff и опе-
ратора D (результаты упростить). Вычислить указанные значения.
1)
).2(,
2
3
2
y
x
xx
y
′
+
+
=
2)
).3(,1lnarctg
2
yxxxy
′
+−=
3)
).0(,
80cos40
40sin
3
1
cos
2
y
x
x
y
′
−=
4)
).(,2cos
2cosln
π
yxy
x
′
=
6.3. Найти интегралы (при необходимости результаты упростить).
1)
x
x
xx
d
sin
cos
3
∫
.
2)
x
x
x
d
1
1arcsin
2
2
∫
−
+
.
3)
x
x
x
d
5tg
1tg3
6
1
arccos
0
2
2
∫
+
−
.
4)
x
x
xx
d
16
53
0
4
2
∫
+∞
+
++
.
18
Решение.
Определим функцию у:
> y:=(x^3 – 27*x + 54) / x^3;
x 3 − 27 x + 54
Результат на экране: y :=
x3
Строим график, подбирая подходящие отрезки задания значений для x и y:
> plot(y1, x= –10. .10, y= –10. .10);
По графику (рис. 5.1) видно, что функция имеет два корня. Они приближенно
равны –6 и 3.
6. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
6.1. Найти пределы.
x + 13 − 2 x + 1 x sin x
1) lim 2) lim
x →3 3 x → 0 1 + cos( x − 3π )
x2 − 3
ex − e ⎛ 2⎞
1 ln(1+ tg 2 ( 3 / x ) )
3) lim 4) lim ⎜1 − sin 2 ⎟
x →1 arctg( x 2 − 1) x →∞⎝ x⎠
1 1 1 x2
5) lim arctg sin 2 x + 5 cos ⎛ arctg 2 x ⎞
x →∞ x x 6) lim⎜⎜ ⎟
x → 0 arcsin 2 x ⎟
⎝ ⎠
x x
7) lim ctg (arcsin 5 x ) 8) lim tg (arcsin 2( x − π ) )
x →0 + 0 2 x →π − 0 2
6.2. Найти производные 1-го и 2-го порядков с помощью функции diff и опе-
ратора D (результаты упростить). Вычислить указанные значения.
3x + x 2) y = x arctg x − ln 1 + x 2 , y ′( 3 ).
1) y = , y ′( 2 ).
2
x +2
1 sin 2 40 x 4) y = cos 2 x ln cos 2 x , y ′(π ).
3) y = cos − , y ′(0).
3 40 cos 80 x
6.3. Найти интегралы (при необходимости результаты упростить).
x cos x arcsin 2 x + 1
1) ∫ sin 3 x dx . 2) ∫ dx .
1− x 2
1 +∞ 2
arccos x + 3x + 5
6
3tg 2 x − 1 4) ∫ dx .
3) ∫ tg 2 x + 5
dx . 0 x 4 + 16
0
