Решение задач оптимального управления с использованием математической системы MATLAB и пакета имитационного моделирования SIMULINK. Сивохин А.В - 124 стр.

     Функция веса объекта получается путем дифференцирования функции
переходной проводимости и имеет вид
                                                                          t
                                                                      −
                                                    W (t ) = 1 − e T .                                                     (5.7)

     Реакция объекта на синусоидальное возмущающее воздействие
определяется путем решения дифференциального уравнения
                              T&x& + x& = A0 sin ω 0 t  (5.8)
и имеет следующее аналитическое выражение:
                 A0ω 0 T    T3      −
                                      t
                                         1                       1                              1
         x(t ) =      ( 2 −        e −T
                                              (                               e − iω 0 t +              e iω 0t )).        (5.9)
                  T ω 0 (1 + k 0 T
                               2 2
                                        2ω 02                         1                             1
                                                             − iω 0 +                        iω 0 +
                                                                      T                             T
     Рассмотрим порядок вывода этого выражения.
     Используя преобразования Лапласа при нулевых начальных условиях,
получаем
                                                Aω
                        (Tp 2 + p ) ⋅ x( p) = 2 0 0 2 .        (5.10)
                                              p + ω0
 Отсюда находим изображение регулируемой величины
                                         A0ω 0
                       x( p ) =                          .     (5.11)
                                p (Tp + 1)( p 2 + ω 02 )
     Корни характеристического уравнения легко находятся и равны: p1 = 0 ;
         1
p2 = −     ; p3 = −iω 0 ; p1 = iω 0 .
         T
                 Разложим дробь на простейшие дроби:
                       1                                  A     B      C        D
                                                    =        +      +       +         .                           (5.12)
                1
( p − 0)( p − (− ))( p − (−iω 0 ))( p − iω 0 )          p − 0 p + 1 p + iω 0 p − iω 0
                T                                                 T
 Приведя это уравнение к общему знаменателю и отбросив его, получим:
         1                                              1                       1
A( p +     )( p 2 + ω 02 ) + Bp( p 2 + ω 02 ) + Cp ( p + )( p − iω 0 ) + Dp( p + )( p + iω 0 ) = 1 .(5.13)
         T                                              T                       T




         Подставим в это уравнение корни и найдем коэффициенты разложения:

                                          T
                                    A=          ;                                                                      (5.14)
                                         ω 02
                                                    T3
                                        B=−                  ;                                                         (5.15)
                                                1 + ω 0T 2
                                                       1
                                        D=−                       ;                                                   (5.16)
                                                          1
                                                2ω (iω 0 + )
                                                    2
                                                    0
                                                          T




                                                           124