Решение задач оптимального управления с использованием математической системы MATLAB и пакета имитационного моделирования SIMULINK. Сивохин А.В - 126 стр.

                                               ⎧ψ& 1 (t ) = 0,
                                               ⎪
                                               ⎨                         1                              (5.23)
                                               ⎪⎩ψ& 2 (t ) = −ψ 1 (t ) + T ⋅ψ 2 (t ).

     Из первого уравнения следует ψ 1 (t ) = c1 , где c1 - постоянная величина.
Тогда второе уравнения можно записать в виде:
                                                      1
                                        ψ& 2 (t ) −     ⋅ψ 2 (t ) = −c1 .                               (5.24)
                                                      T
       Это     линейное        неоднородное                    уравнение.               Решением      линейного
однородного уравнения является функция c2 ⋅ exp⎛⎜ ⎞⎟ , а частное решение
                                                 t
                                                                                 ⎝T ⎠
неоднородного уравнения равна константе c3 . Подставляя эту константу в
дифференциальное уравнение, получим c3 = c1 ⋅ T , тогда можно записать
                                                                       ⎛t⎞
                                        ψ 2 (t ) = c1T + c 2 ⋅ exp⎜ ⎟ .                                (5.25)
                                                                       ⎝T ⎠
       Функция Гамильтона примет вид
                                                ⎛                   ⎛ t ⎞⎞ 1
                           H = c1 ⋅ x 2 (t ) + ⎜⎜ c1 ⋅ T + c 2 ⋅ exp⎜ ⎟ ⎟⎟ ⋅ ⋅ [k ⋅ u − x 2 (t )] .    (5.26)
                                                ⎝                   ⎝ T ⎠⎠ T

     На основании принципа максимума Понтрягина управление
выбирается таким образом, чтобы H принимала наибольшее значение. Для
этого максимальное значение должно принять слагаемое функции H,
которое зависит от управления u . Обозначим это слагаемое H * . В нашем
случае оно имеет вид
                                                 k⎛                   ⎛ t ⎞⎞
                                        H* =      ⎜⎜ c1 ⋅ T + c2 ⋅ exp⎜ ⎟ ⎟⎟ ⋅ u .                      (5.27)
                                                 T⎝                   ⎝ T ⎠⎠

       Величина           H*          принимает                    наибольшее                значение       при
                                                                                         /
         ⎛                  ⎛ t ⎞⎞                    ⎛                  ⎛ t ⎞⎞ c        ⎛t⎞
k = sign⎜⎜ c1 ⋅ T + c2 ⋅ exp⎜ ⎟ ⎟⎟ ⋅ u max . Так как ⎜⎜ c1 ⋅ T + c2 ⋅ exp⎜ ⎟ ⎟⎟ = 2 ⋅ exp⎜ ⎟ , то мы
         ⎝                  ⎝ T ⎠⎠                    ⎝                  ⎝ T ⎠⎠  T       ⎝T ⎠
видим, что производная в нуль не обращается. Поэтому функция
                 ⎛t⎞                                                k
c1 ⋅ T + c2 ⋅ exp⎜ ⎟ может менять знак не более одного раза. Так как > 0 , то
                 ⎝T ⎠                                               T

                                                         k                  ⎛t⎞
                                        max H * =          c1 ⋅ T + c2 ⋅ exp⎜ ⎟ ⋅ u max .               (5.28)
                                         u∈U             T                  ⎝T ⎠

     Обозначим через t1 - время переключения управления, через t 2 - время
                                    r                           r
перехода системы из начальной точки x0 = (0;0) в конечную точку x1 (xn ;0) .
       Оптимальное управление будет таким:



                                                         126