Решение задач оптимального управления с использованием математической системы MATLAB и пакета имитационного моделирования SIMULINK. Сивохин А.В - 127 стр.

                          ⎧ u max , при 0 ≤ t < t1 ,
                        u=⎨                                                              (5.29)
                          ⎩− u max , при t1 < t ≤ t 2 .


       График функции представлен на рис 5.1.




       Рис 5.1 Оптимальное управление для простейшего звена


         Теперь найдем время переключения t1 , время управления t 2 , а также
x1 (t ) и x2 (t ) . Решим дифференциальное уравнение (5.1) сначала для u = u max ,
при 0 ≤ t < t1 , а затем для u = −u max , при t1 ≤ t < t 2 .
       Пусть u = u max . Тогда уравнение (5.1) запишется в виде
                                      T ⋅ &x&1 + x&1 = k ⋅ u max .                       (5.30)
     Это   линейное    неоднородное   уравнение    с   постоянными
коэффициентами. Соответствующее линейное однородное уравнение имеет
вид:
                                      T ⋅ &x&1 + x&1 = 0 .                               (5.31)
      Характеристическое уравнение T ⋅ r 2 + r = 0 имеет корни r1 = 0 ,
      t
r2 = − . Тогда общее решение однородного уравнения будет иметь вид
      T
             ⎛ t⎞
c4 + c5 ⋅ exp⎜ − ⎟ .   Так   как    нуль        является             корнем   характеристического
             ⎝ T⎠
уравнения, а правая часть неоднородного уравнения равна константе, то
частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде c6 ⋅ t .
Подставляя эту функцию в неоднородное уравнение, получим c6 = k ⋅ u max .
Поэтому общее решение неоднородного уравнения запишется в виде


                                                  127