Решение задач оптимального управления с использованием математической системы MATLAB и пакета имитационного моделирования SIMULINK. Сивохин А.В - 128 стр.

                                                                          ⎛ t⎞
                                  x1 (t ) = k ⋅ u max ⋅ t + c 4 + c5 ⋅ exp⎜ − ⎟.                      (5.32)
                                                                          ⎝ T⎠
         Постоянные интегрирования c4 и c5 найдем из начальных условий:
                                                                                c5    ⎛ t⎞
x1 (0 ) = 0 , x&1 (0 ) = 0 . В нашем случае x&1 (t ) = k ⋅ u max −                 exp⎜ − ⎟ . Тогда будем иметь
                                                                                T     ⎝ T⎠
следующую систему:
                                                  ⎧ x1 (0 ) =c 4 +c5 = 0,
                                                  ⎪
                                                  ⎨                         c5                        (5.33)
                                                  ⎪⎩ x&1 (0 ) = k ⋅ u max − T = 0.

      Решая полученную систему, получим c4 = −k ⋅ u max ⋅ T , c5 = k ⋅ u max ⋅ T . Тогда
при 0 ≤ t < t1 :
                                                                               ⎛    ⎛ t⎞ ⎞
                                    x1 (t ) = k ⋅ u max ⋅ t + k ⋅ u max ⋅ T ⋅ ⎜⎜ exp⎜ − ⎟ − 1⎟⎟,      (5.34)
                                                                               ⎝    ⎝ T⎠ ⎠

                                                                          ⎛ t⎞
                                    x&1 (t ) = k ⋅ u max − k ⋅ u max ⋅ exp⎜ − ⎟.                      (5.35)
                                                                          ⎝ T⎠
     Теперь решим уравнение (5.1) при u = −u max . Решение однородного
уравнения остается без изменения, а частным решением неоднородного
уравнения теперь будет функция − k ⋅ u max ⋅ t . Общим решением неоднородного
уравнения является функция
                                                                                       ⎛ t⎞
                                               x1 (t ) = −k ⋅ u max ⋅ t + c6 + c7 ⋅ exp⎜ − ⎟ .        (5.36)
                                                                                       ⎝ T⎠
         Используем условия в конце управления: x1 (t 2 ) = xn , x&1 (t 2 ) = 0 . Так как
                          c7    ⎛ t⎞
x&1 (t ) = −k ⋅ u max −      exp⎜ − ⎟ , то получим следующие уравнения
                          T     ⎝ T⎠
                                                                                   ⎛ t ⎞
                                      x1 (t 2 ) = − k ⋅ u max ⋅ t 2 + c6 + c7 ⋅ exp⎜ − 2 ⎟ = xn ,     (5.37)
                                                                                   ⎝ T⎠
                                                                   c7    ⎛ t ⎞
                                       x&1 (t 2 ) = −k ⋅ u max −      exp⎜ − 2 ⎟ = 0.                 (5.38)
                                                                   T     ⎝ T⎠
         Из последних двух уравнений выразим c6 и c7 через неизвестную t 2 .
Имеем c7 = −k ⋅ u max ⋅ T ⋅ exp⎛⎜ 2 ⎞⎟ , c 6 = x n + k ⋅ u max ⋅ t 2 + k ⋅ u max ⋅ T . Тогда при t1 ≤ t < t 2
                                 t
                                           ⎝T ⎠
будем иметь
                                                       ⎛                      ⎛ t − t ⎞⎞
                          x1 (t ) = x n + k ⋅ u max ⋅ ⎜⎜ t 2 − t + T − T ⋅ exp⎜ 2     ⎟ ⎟⎟ ,          (5.39)
                                                       ⎝                      ⎝ T ⎠⎠




                                                                   128