Решение задач оптимального управления с использованием математической системы MATLAB и пакета имитационного моделирования SIMULINK. Сивохин А.В - 129 стр.

                                                 ⎛    ⎛t −t ⎞ ⎞
                         x&1 (t ) = k ⋅ u max ⋅ ⎜⎜ exp⎜ 2 ⎟ − 1⎟⎟ .                                                  (5.40)
                                                 ⎝    ⎝ T ⎠ ⎠

     Теперь мы имеем две неизвестные t1 и t 2 . Для их определения
применим метод стыковывания уравнений. В точке t = t1 x1 (t ) , вычисленные
по формулам (5.16) и (5.18), должны совпадать. В этой точке значения x&1 (t ) ,
вычисленные по формулам (5.17) и (5.19), также должны совпадать. Имеем
следующую систему уравнений
⎧                                  ⎛     ⎛ t1 ⎞ ⎞                      ⎛                       ⎛ t 2 − t1 ⎞ ⎞
⎪k ⋅ u max ⋅ t1 + k ⋅ u max ⋅ T ⋅ ⎜⎜ exp⎜ − ⎟ − 1⎟⎟ = x n + k ⋅u max ⋅⎜⎜ t 2 − t1 + T − T ⋅ exp⎜          ⎟ ⎟⎟
⎪                                  ⎝     ⎝ T  ⎠   ⎠                    ⎝                       ⎝     T    ⎠⎠
⎨                                                                                                              , (5.41)
                               ⎛     t ⎞
⎪k ⋅ u − k ⋅ u ⋅ exp − 1 = k ⋅u ⋅⎜ exp 2 1 − 1⎟.  ⎛    ⎛ t  − t  ⎞      ⎞
⎪      max         max         ⎜       ⎟      max ⎜    ⎜         ⎟ ⎟
⎩                              ⎝     T ⎠          ⎝    ⎝   T     ⎠ ⎠

     В первом уравнении раскроем скобки и приведем подобные члены, а
правую и левую часть второго уравнения разделим на k ⋅ u max , получим
⎧                                      ⎛    ⎛ t1 ⎞ ⎞                                                 ⎛ t 2 − t1 ⎞
⎪2 ⋅ k ⋅ u max ⋅ t1 + k ⋅ u max ⋅ T ⋅ ⎜⎜ exp⎜ − ⎟ − 2 ⎟⎟ = xn + k ⋅ u max ⋅ t 2 − k ⋅ u max ⋅ T ⋅ exp⎜          ⎟,
⎪                                      ⎝    ⎝ T⎠ ⎠                                                   ⎝ T ⎠
⎨                                                                                                                    (5.42)
⎪exp⎛ t 2 − t1 ⎞ + exp⎛ − t1 ⎞ − 2 = 0.
⎪⎩ ⎜⎝ T ⎟⎠                 ⎜
                           ⎝ T⎠
                                   ⎟

        Перепишем первое уравнение в виде:
                                               ⎛    ⎛t −t ⎞      ⎛ t ⎞ ⎞
         2 ⋅ k ⋅ u max ⋅ t1 + k ⋅ u max ⋅ T ⋅ ⎜⎜ exp⎜ 2 1 ⎟ + exp⎜ − 1 ⎟ − 2 ⎟⎟ = xn + k ⋅ u max ⋅ t 2 .             (5.43)
                                               ⎝    ⎝ T ⎠        ⎝ T⎠ ⎠

     Так как выражение в скобках равно 0, то из последнего уравнения
находим
                                                              xn
                                      t 2 = 2 t1 −                  .                                                (5.44)
                                                          k ⋅ u max

        Второе уравнение сначала умножим на exp⎛⎜ 1 ⎞⎟ , а вместо t 2 подставим
                                                 t
                                                                                    ⎝T ⎠
его найденное значение, получим
                                                     ⎛          xn          ⎞
                                                     ⎜ 2t1 −                ⎟
                                          ⎛t ⎞               k ⋅ u max
                                     2 exp⎜ 1 ⎟ − exp⎜                      ⎟ −1 = 0 .                               (5.45)
                                          ⎝T ⎠       ⎜       T              ⎟
                                                     ⎜                      ⎟
                                                     ⎝                      ⎠

        Обозначим exp⎛⎜ 1 ⎞⎟ = y , ( y > 1) . Тогда следует
                       t
                                  ⎝T ⎠
                                                      ⎛        xn       ⎞
                                      2 y − y 2 ⋅ exp⎜⎜ −               ⎟⎟ − 1 = 0 .                                 (5.46)
                                                      ⎝   k ⋅ u max ⋅ T  ⎠


                                                              129