Решение задач оптимального управления с использованием математической системы MATLAB и пакета имитационного моделирования SIMULINK. Сивохин А.В - 125 стр.

                                                          1             .                                                         (5.17)
                                       C=−
                                                           1
                                                2ω (−iω 0 + )
                                                     2
                                                     0
                                                           T

         Переходя с помощью таблиц от изображения к оригиналу, получаем следующее
выражение для вынужденных колебаний объекта:
                                       ⎛                ⎞
        ⎛ A0ω 0 ⎞⎛ T    T 3 ⎞ −T ⎜                      ⎟
                                   t
                                                        ⎟⎛⎜ ω 0 sin ω 0t + cos ω 0 t ⎞⎟ (5.18)
                                                1                         1
x(t ) = ⎜       ⎟⎜⎜ 2 −        ⎟
                           2 2 ⎟
                                 e   − ⎜
        ⎝ T ⎠⎝ ω 0 1 + ω 0 T ⎠         ⎜ ω 2 (ω 2 + 1 ) ⎟⎝                T           ⎠
                                       ⎜ 0 0         2 ⎟
                                       ⎝           T ⎠

     Теперь необходимо найти алгоритм оптимального управления.
     Обозначим: x1 (t ) = x(t ), x2 (t ) = x&1 (t ). Тогда вместо уравнения (5.1)
будем иметь следующую систему дифференциальных уравнений:
                                         ⎧ x&1 (t ) = x2 (t ),
                                         ⎨                                                                                        (5.18)
                                         ⎩T ⋅ x& 2 (t ) + x2 (t ) = k ⋅ u.
     Разделим все члены второго уравнения на T и запишем систему в
следующем виде:
                                           ⎧ x&1 (t ) = x 2 (t ),
                                           ⎪
                                           ⎨              1                                                                       (5.19)
                                           ⎪⎩ x& 2 (t ) = T ⋅ (k ⋅ u − x 2 ).

     Функция     Гамильтона    для системы двух дифференциальных
уравнений конструируется следующим образом:
                             r r
                         H (ψ , x , u ) = ψ 1 (t ) ⋅ f1 ( x1 , x2 , t , u ) + ψ 2 (t ) ⋅ f 2 ( x1 , x2 , t , u ) ,                (5.20)
где ψ 1 (t ) и ψ 2 (t ) - вспомогательные функции,
        f1 ( x1 , x2 , t , u ) и f 2 ( x1 , x2 , t , u ) - правые части дифференциальных уравнений.
                                                                                                        1
       В нашем случае f1 (x1 , x2 , t , u ) = x2 (t ) ,                     f 2 ( x1 , x2 , t , u ) =     ⋅ (k ⋅ u − x2 (t )) .
                                                                                                        T
 Тогда гамильтониан запишется в виде
                            r r                                    1
                        H (ψ , x , u ) = ψ 1 (t ) ⋅ x2 + ψ 2 (t ) ⋅ ⋅ (k ⋅ u − x2 (t )) .                                         (5.21)
                                                                   T
     Вспомогательные функции ψ 1 (t ) и  ψ 2 (t ) должны удовлетворять
следующей системе дифференциальных уравнений:
                                                      ⎧&            ∂H
                                                      ⎪ψ 1 (t ) = − ∂x ,
                                                      ⎪
                                                      ⎨
                                                                      1
                                                                                                                                  (5.22)
                                                      ⎪ψ& (t ) = − ∂H .
                                                      ⎪⎩ 2          ∂x2

       В нашем случае эта система будет иметь вид:

                                                               125