Теория массового обслуживания. Сивохин А.В - 25 стр.

       Заявку будем называть «связанной с системой», если она либо
находится в состоянии обслуживания, либо ожидает очереди. Возможные
состояния будут
       x0 – ни один канал не занят,
       xk – занято ровно k каналов                          (1 ≤ x ≤ n) ,
       xn+S – заняты все n каналов, s заявок стоят в очереди.                                      (s ≥1).
       Число заявок s, стоящих в очереди, может быть сколь угодно большим.
Соответственно, число описывающих ее дифференциальных уравнений
будет бесконечным. Они имеют вид:
  ⎧ p& 0 (t) = −λ ⋅ p0 (t) + µ⋅ p1(t),
  ⎪
  ⎨ p& k (t) =λ ⋅ pk −1(t) − (λ +k ⋅µ)⋅ pk (t) + (k +1)⋅µ⋅ pk +1(t) ,    (1 ≤ k ≤ n−1),                              (6.2)
  ⎪&
  ⎩ pn+ s (t) = −λ⋅ pn+ s −1(t) − (λ +n⋅µ + s⋅ν )⋅ pn+ s (t) +[n⋅µ +(s +1)⋅ν ]⋅ pn+ s +1(t)               (s ≥0) .

       При t → ∞ для установившегося режима, когда p k (t ) → p k , p& k (t ) → 0
уравнения для определения p k будут иметь вид:
  ⎧− λ ⋅ p 0 + µ ⋅ p1 = 0,
  ⎪
  ⎨λ ⋅ p k −1 − (λ + k ⋅ µ ) ⋅ p k + (k + 1) ⋅ µ ⋅ p k +1 = 0 ,          (1 ≤ k ≤ n − 1),                            (6.3)
  ⎪λ ⋅ p
  ⎩      n + s −1 − (λ + n ⋅ µ + s ⋅ν ) ⋅ p n + s + [n ⋅ µ + ( s + 1) ⋅ν ] ⋅ p n + s +1 = 0   ( s ≥ 0).

       К ним нужно присоединить условие
                                                      ∞

                                                     ∑p
                                                     k =0
                                                             k   = 1.                                                (6.4)

       Решая полученную систему, найдем
                                                                                  −1
                             ⎧⎪ n α k α n ∞ S ⎡ S             ⎤ ⎫⎪
                                                               −1

                       p 0 = ⎨∑          +   ⋅ ∑ α ∏ (n + mβ )⎥ ⎬ ,                                                  (6.5)
                              ⎪⎩ k =0 k!   n! S =1 ⎢⎣ m −1    ⎦ ⎪⎭

                                          αk
                                 pk =          p0           (1 ≤ k ≤ n) ,                                            (6.6)
                                          k!
                                                                      −1
                                 α n+ S ⋅ p0 ⎡   S
                                                           ⎤
                       pn+ s =
                                     n!        ⎢∏ (n + mβ )⎥ ,              ( s ≥ 1) ,                               (6.7)
                                               ⎣ m =1      ⎦
          λ     ν
где α =     , β= .
          µ     µ

       Вероятность того, что заявка покинет систему не обслуженной,
определяется формулой:
                                                                 25