Аффинные пространства. Скляренко В.А - 104 стр.

104                                                                          Аффинные преобразования


   Задача 3.7. Доказать, что данное отображение является преоб-
разованием подобия. Разложить его в композицию ψ ∘ ∘ θ ∘ η, где                               Φ
      ∙                    ( ) ↦→ ( ), если исходное собственное и
          η –– тождественное:                  𝑥, 𝑦            𝑥, 𝑦

          симметрия относительно оси : (   ) ↦→ ( − ), если несоб-
                                                                𝑂𝑥    𝑥, 𝑦       𝑥,       𝑦

          ственное,
      ∙   θ –– параллельный перенос на вектор #»
                                              𝑣                              = ( ):
                                                                               𝑎, 𝑏

        ( ) ↦→ ( + + ),
          𝑥, 𝑦           𝑥    𝑎, 𝑦         𝑏



                                                              ↦→ cos ϕ − sin ϕ
                                                  ⎛       ⎞     ⎛                ⎞⎛       ⎞


      ∙ Φ –– поворот на угол ϕ:                   ⎝
                                                      𝑥

                                                      𝑦
                                                          ⎠     ⎝
                                                                 sin ϕ cos ϕ     ⎠⎝
                                                                                      𝑥

                                                                                      𝑦
                                                                                          ⎠   ,

      ∙   ψ –– гомотетия с центром в начале координат и коэффициентом
          𝑘   :   ( ) ↦→ (
                  𝑥, 𝑦       𝑘𝑥, 𝑘𝑦   ).
Система координат прямоугольная.

  1.      𝑥
              ′ = 7 𝑥 + 24 𝑦, 𝑦 ′ = −24 𝑥 + 7 𝑦 − 2.
  2.      𝑥
              ′ = 5 𝑥 − 12 𝑦, 𝑦 ′ = 12 𝑥 + 5 𝑦 + 3.
  3.      𝑥
              ′ = 20 𝑥 − 21 𝑦 − 1, 𝑦 ′ = 21 𝑥 + 20 𝑦 − 3.
  4.      𝑥
              ′ = 21 𝑥 − 20 𝑦 − 1, 𝑦 ′ = 20 𝑥 + 21 𝑦 + 2.
  5.      𝑥
              ′ = −20 𝑥 − 21 𝑦 − 3, 𝑦 ′ = −21 𝑥 + 20 𝑦 − 1.
  6.      𝑥
              ′ = 8 𝑥 + 15 𝑦 − 2, 𝑦 ′ = 15 𝑥 − 8 𝑦 − 3.
  7.      𝑥
              ′ = 12 𝑥 + 5 𝑦 − 2, 𝑦 ′ = 5 𝑥 − 12 𝑦 − 2.
  8.      𝑥
              ′ = −12 𝑥 + 5 𝑦 − 3, 𝑦 ′ = −5 𝑥 − 12 𝑦 − 3.
  9.      𝑥
              ′ = −3 𝑥 − 4 𝑦 − 3, 𝑦 ′ = 4 𝑥 − 3 𝑦 − 2.
 10.      𝑥
              ′ = 8 𝑥 + 15 𝑦 + 1, 𝑦 ′ = −15 𝑥 + 8 𝑦 + 2.
 11.      𝑥
              ′ = 4 𝑥 + 3 𝑦 + 1 , 𝑦 ′ = 3 𝑥 − 4 𝑦 − 1.
 12.      𝑥
              ′ = 20 𝑥 + 21 𝑦 − 3, 𝑦 ′ = −21 𝑥 + 20 𝑦 − 3.
 13.      𝑥
              ′ = −24 𝑥 − 7 𝑦 − 1, 𝑦 ′ = −7 𝑥 + 24 𝑦 + 3.
 14.      𝑥
              ′ = 24 𝑥 + 7 𝑦 − 2, 𝑦 ′ = 7 𝑥 − 24 𝑦 − 3.
 15.      𝑥
              ′ = −8 𝑥 − 15 𝑦 − 1, 𝑦 ′ = −15 𝑥 + 8 𝑦 − 3.
 16.      𝑥
              ′ = 5 𝑥 − 12 𝑦 + 3, 𝑦 ′ = −12 𝑥 − 5 𝑦 − 3.
 17.      𝑥
              ′ = −5 𝑥 + 12 𝑦, 𝑦 ′ = 12 𝑥 + 5 𝑦 + 1.