Аффинные пространства. Скляренко В.А - 26 стр.

26                                                         Аффинные пространства


   Пример 1.12. За начало новой системы координат 𝑂′ 𝑥′ 𝑦 ′ 𝑧 ′ 𝑤′
             (2 1 2 2)
принята точка 𝑂′ , , − , − , а за единичные векторы ее осей #»         𝑒1
                                                                         ′    =
= ( 4 3 7 9) = ( 3 2 5 7)
   − , − , − , , #»𝑒 ′2 − , − , − , , #»𝑒 ′3         = (10 8 17 23)
                                                      , ,   ,−    и #»𝑒4
                                                                        ′     =
= ( 1 1 2 1)
   − , − , − , . Координаты заданы в старой системе координат.
Найти выражение новых координат 𝑥′ , 𝑦 ′ , 𝑧 ′ , 𝑤′ через старые 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤.

   Решение. Матрица 𝐶 перехода от базиса #»    #» #» #»
                                         𝑒 1 , 𝑒 2 , 𝑒 3 , 𝑒 4 к новому

базису #» ′ #»′ #»′ #»′
       𝑒 1 , 𝑒 2 , 𝑒 3 , 𝑒 4 имеет вид



                                −4 −3 10 −1
                                  ⎛                   ⎞




                              = −−37 −−25 178 −−12
                                  ⎜                   ⎟
                                  ⎜                   ⎟
                                  ⎜                   ⎟
                        𝐶         ⎜                   ⎟,
                                  ⎜                   ⎟


                                  9 7 −23 1
                                  ⎝                   ⎠




                                                                 ⎛
                                                                    2⎞




                           координат вектора 𝑂𝑂′ :
                                             # »
                                                                 ⎜


                                                               0 =
                                                                 ⎜
                                                                    1⎟
                                                                     ⎟
а матрица–столбец
                                                                   −2    .
                                                                 ⎜   ⎟
                     𝑋0                                    𝑋     ⎜   ⎟
                                                                 ⎜   ⎟


                                                                   −2
                                                                 ⎝   ⎠



   Тогда зависимость новых координат от старых задается равен-
       (1 12)
ством . , которое в данном случае принимает вид

                                                𝑥−2
                              ⎛
                                 ′⎞
                                  𝑥
                                              ⎛      ⎞



                                            1 ⎜𝑦 − 1⎟
                              ⎜ ′⎟
                              ⎜     ⎟         ⎜      ⎟

                                    ⎟ = 𝐶
                              ⎜𝑦 ⎟        −   ⎜      ⎟

                              ⎜ 𝑧′ ⎟          ⎜𝑧 + 2⎟
                              ⎜               ⎜      ⎟.



                                                𝑤 +2
                              ⎝     ⎠         ⎝      ⎠

                                𝑤
                                  ′

Поскольку
                                   10 ⎛
                                          1   −5 1    ⎞



                              −1 = −9     2    3 −1
                                      ⎜               ⎟
                                      ⎜               ⎟


                                    1     1   −1 0
                                      ⎜               ⎟
                          𝐶           ⎜               ⎟,
                                      ⎜               ⎟


                                   −4     0    1 −1
                                      ⎝               ⎠




найдем, что
                       𝑥
                        ′ = 10𝑥 + 𝑦 − 5𝑧 + 𝑤 − 29,
                       𝑦 = −9𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 − 𝑤 + 20,
                        ′
                       𝑧 = 𝑥 + 𝑦 − 𝑧 − 5,
                        ′
                       𝑤 = −4𝑥 + 𝑧 − 𝑤 + 8.
                          ′