Аффинные пространства. Скляренко В.А - 24 стр.

24                                                                                                             Аффинные пространства

                                         ′ ′:          𝑥 +3
                                                                          =    𝑦   −       2
                                                                                               =   𝑧 +1
                                     𝑂 𝑥
                                                       −      2                    1               −       1
                                                                                                                ,

                                         ′ ′:         𝑥 +3
                                                                          =    𝑦   −       2
                                                                                               =   𝑧 +1
                                     𝑂 𝑦
                                                              4                    −   2               1
                                                                                                                ,

                                         ′ ′:         𝑥 +3
                                                                          =    𝑦   −   2
                                                                                               =   𝑧 +1
                                     𝑂 𝑧
                                                       −      1                    1               −       1
                                                                                                                .



 iii. Преобразование координат, обратное преобразованию                                                                                   (1 15),
                                                                                                                                            .

      имеет вид          ⎛ ⎞       ⎛     ⎞
                                                 𝑥
                                                   ′                                   𝑥   +3
                                             ⎜
                                             ⎜
                                                ⎟
                                                ⎟
                                             ⎝𝑦 ⎠
                                                   ′          = 𝐶 −1 ⎜⎜𝑦 − 2⎟⎟ .
                                                                                           +1
                                                                                   ⎝               ⎠

                                                 𝑧
                                                   ′                                   𝑧


         Так как
                                                      −1 −3 −2    ⎛                                ⎞



                                         𝐶
                                                 −1 = 0 −1 −1     ⎜
                                                                  ⎜
                                                                                                   ⎟
                                                                                                   ⎟
                                                                                                   ⎠,

                                                                          1 2 0
                                                                  ⎝




         то из последнего равенства получим
                                         𝑥
                                          ′ = −𝑥 − 3𝑦 − 2𝑧 + 1,
                                         𝑦 = −𝑦 − 𝑧 + 1 ,                                                                                 (1 16)
                                          ′                                                                                                 .

                                         𝑧 = 𝑥 + 2𝑦 − 1.
                                          ′

         Следовательно, в системе координат 𝑂′ 𝑥′ 𝑦 ′ 𝑧 ′ точка 𝑂 и направ-
         ляющие векторы #»      #» #»
                          𝑒 1 , 𝑒 2 , 𝑒 3 координатных осей имеют коорди-

         наты:

         𝑂   (1 1 −1)
              ,   ,   ,
                          #»
                          𝑒    1   = (−1 0 1),    ,           ,
                                                                      #»
                                                                      𝑒    2   = (−3 −1 2)     ,           ,        ,
                                                                                                                        #»
                                                                                                                        𝑒    3   = (−2 −1 0)
                                                                                                                                      ,     ,   .


         Отсюда заключаем:

                                         :            𝑥
                                                          ′
                                                           −          1
                                                                          =    𝑦
                                                                                   ′
                                                                                       −   1
                                                                                               =   𝑧 +1
                                                                                                       ′

                                    𝑂𝑥
                                                          −       1                    0                   1
                                                                                                                    ,


                                         :            𝑥
                                                          ′
                                                           −          1
                                                                          =    𝑦
                                                                                   ′
                                                                                    −      1
                                                                                               =   𝑧 +1
                                                                                                       ′

                                    𝑂𝑦
                                                          −   3                    −   1                   2
                                                                                                                    ,


                                         :            𝑥
                                                          ′
                                                           −          1
                                                                          =    𝑦   −
                                                                                   ′
                                                                                           1
                                                                                               =   𝑧 +1
                                                                                                       ′

                                    𝑂𝑧
                                                          −   2                    −   1                   0
                                                                                                                    .



     iv. Координатные плоскости 𝑂′ 𝑥′ 𝑦 ′ , 𝑂′ 𝑥′ 𝑧 ′ , 𝑂′ 𝑦 ′ 𝑧 ′ в системе коорди-
         нат 𝑂′ 𝑥′ 𝑦 ′ 𝑧 ′ имеют уравнения 𝑧 ′ , 𝑦′         , 𝑥′               =0 =0 =0
                                                                       соответствен-
         но. С учетом этих равенств из формул .                    получим        (1 16)