Аффинные пространства. Скляренко В.А - 23 стр.

Аффинные замены координат                                                                                    23


  Пример 1.11. В пространстве имеются две системы координат
        ′ ′ ′ ′
𝑂𝑥𝑦𝑧 и 𝑂 𝑥 𝑦 𝑧 , связанные соотношениями:


                              𝑥   = −2 ′ + 4 ′ − ′ − 3
                                        𝑥       𝑦        𝑧               ,

                              𝑦   = ′−2 ′+ ′+2
                                    𝑥       𝑦       𝑧        ,                                         (1 15)
                                                                                                         .

                              𝑧   =− ′+ ′− ′−1
                                        𝑥   𝑦        𝑧           .


   Найти:
   i. Координаты начала системы                     ′ ′ ′ ′ в системе
                                                𝑂 𝑥𝑦 𝑧                           𝑂𝑥𝑦𝑧      ;
  ii. Канонические уравнения осей координат системы                                       ′ ′ ′ ′ в си-
                                                                                         𝑂 𝑥𝑦 𝑧

      стеме 𝑂𝑥𝑦𝑧 ;
 iii. Канонические уравнения осей координат системы 𝑂𝑥𝑦𝑧 в систе-
      ме 𝑂′ 𝑥′ 𝑦 ′ 𝑧 ′ ;
 iv. Уравнения координатных плоскостей системы 𝑂′ 𝑥′ 𝑦 ′ 𝑧 ′ в системе
     𝑂𝑥𝑦𝑧 ;

  v. Уравнение плоскости 𝒫: 4 +3 − 5 − 2 = 0 в системе
                                            𝑥       𝑦        𝑧
                                                                                                   ′ ′ ′ ′;
                                                                                               𝑂 𝑥𝑦 𝑧


 vi. Канонические уравнения прямой :
                                     − = − = −           ℓ
                                                             𝑥           5   𝑦       8     𝑧       9
                                                                                                       в си-
     стеме 𝑂′ 𝑥′ 𝑦 ′ 𝑧 ′ .
                                                                     1           1             8




   Решение.
   i. Начало 𝑂′ новой системы координат в системе 𝑂′ 𝑥′ 𝑦 ′ 𝑧 ′ имеет
      координаты 𝑥′   ,𝑦
                         ′   =0 =0 =0
                            ,𝑧
                               ′  . Тогда из формул .           заме-                    (1 15)
                                              ′
      ны координат находим координаты точки 𝑂 в системе 𝑂𝑥𝑦𝑧 :
        ( 3 2 1)
      𝑂 − , ,−
        ′        .
  ii. Столбцы матрицы
                                          −2 4 −1
                                            ⎛                        ⎞



                                    𝐶   = 1 −2 1
                                            ⎜
                                            ⎜
                                                                     ⎟
                                                                     ⎟


                                          −1 1 −1
                                            ⎝                        ⎠




     в формулах замены координат образованы координатами векто-
     ров #» 𝑒1
              ′ = ( 2 1 1)              = (4 2 1) = ( 1 1 1)
                    − , , − , #»𝑒 ′2 , − , , #»𝑒 ′3 − , , − в системе
     координат 𝑂𝑥𝑦𝑧 . Поскольку координатные прямые 𝑂′ 𝑥′ , 𝑂′ 𝑦 ′ ,
     𝑂 𝑧 проходят через точку 𝑂 − , , −
       ′ ′
           #»   #»   #»
                                       ′    ( 3 2 1)
                                                   в направлении векто-
     ров 𝑒 1 , 𝑒 2 , 𝑒 3 соответственно, то их канонические уравнения в
     старой системе координат имеют вид