Аффинные пространства. Скляренко В.А - 21 стр.

Аффинные замены координат                                                           21

                                     ′ = 𝑥 − 𝑦 + 6,
                                                                            (1 14)
                                 𝑥


                                 𝑦
                                     ′ = −𝑥 + 3 𝑦 − 7.                          .

                                              2




     Полученные равенства –– формулы перехода от системы коорди-
     нат 𝑂′ 𝑥′ 𝑦 ′ , которую можно рассматривать как старую, к новой
     системе 𝑂𝑥𝑦 . Рассуждения, аналогичные приведенным выше,
     позволяют заключить, что в системе 𝑂′ 𝑥′ 𝑦 ′ точка 𝑂 имеет ко-
                    (6 7)
     ординаты , − , а векторы #»    𝑒1     ,−= (1 1)
                                               , #»
                                                 𝑒2    −, / .  = ( 1 3 2)
 iii. Точка 𝐸 ′ в системе координат 𝑂′ 𝑥′ 𝑦 ′ имеет координаты , .          (1 1)
      Полагая в формулах .      (1 13) = 1 = 1
                                 𝑥
                                  ′     ,𝑦
                                           ′     , найдем координаты
      этой точки в исходной системе координат: 𝑥       ,𝑦    . =1 =6
 iv. В системе координат 𝑂𝑥𝑦 единичная точка 𝐸 определяется усло-
     виями: 𝑥  =1 =1
                 ,𝑦   . Тогда из равенств .           (1 14)
                                              найдем: 𝑥′    ,𝑦
                                                               ′       =6 =
     = 13 2
       − /.
  v. Координатная ось 𝑂′ 𝑥′ в системе 𝑂′ 𝑥′ 𝑦 ′ имеет уравнение 𝑦 ′ .           =0
     Полагая во втором из равенств .         (1 14) = 0
                                              𝑦
                                                ′   , получим искомое
     уравнение координатной оси 𝑂 𝑥 в системе координат 𝑂𝑥𝑦 : 𝑥 −
                                   ′ ′                                          2
     − 𝑦 3 + 14 = 0
                 .
     Заметим, что это уравнение можно получить как уравнение
                                                  ( 4 2)
     прямой, проходящей через точку 𝑂′ − , в направлении век-
                           𝑦 −2
     тора #»
          𝑒1
             ′ = (3 2)
                ,  :
                     𝑥 +4

                            3
                                =
                                .
                                      2

     Аналогично получим уравнение оси 𝑂′ 𝑦 ′ в системе 𝑂𝑥𝑦 , полагая
     в первом из равенств .   𝑥
                               ′(1 14) = 0
                                    : 𝑥−𝑦            .   +6=0
 vi. Уравнения координатных осей 𝑂𝑥 и 𝑂𝑦 в системе                    ′ ′ ′ най-
                                                                     𝑂 𝑥𝑦

                         (1 13)
     дем из формул . , полагая последовательно 𝑦                   = 0 и = 0.
                                                                            𝑥

     Получим, что 𝑂𝑥 𝑥′ 𝑦 ′: + +1=0
                                  и 𝑂𝑦 𝑥′     𝑦 −
                                               ′       :3 +2       4 = 0.
 vii. Прямая   в системе координат 𝑂𝑥𝑦 определяется уравнением
               ℓ1

     2𝑥 − 𝑦  +1 = 0                                (1 13)
                   . Воспользуемся формулами . : подставим в
     уравнение прямой вместо 𝑥, 𝑦 их выражение через новые ко-
     ординаты:  2(3 + 2
                  𝑥
                    ′     𝑦 −
                           ′         4) (2 + 2 + 2) + 1 = 0
                               − 𝑥′ 𝑦′               , получим
     ℓ1  : 4 +2 9=0
         𝑥
          ′   𝑦 −
               ′        .
viii. Уравнение ℓ2 в системе координат 𝑂𝑥𝑦 найдем, заменяя пере-
      менные 𝑥′ , 𝑦 ′ в уравнении этой прямой их выражением .               (1 14)