Аффинные пространства. Скляренко В.А - 19 стр.

Аффинные замены координат                                                           19


   Пример 1.8. Пусть точки 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 –– последовательные верши-
ны параллелограмма, 𝐸 –– точка пересечения его диагоналей. Найти
формулы перехода от системы координат 𝑂 #»    #»             ′ #» ′ #» ′
                                          𝑒 1 𝑒 2 к системе 𝑂 𝑒 1 𝑒 2 ,

если 𝑂 –– точка 𝐸 , а базисные векторы #»
                                       𝑒1
                                          # » #»
                                          𝐶𝐸, 𝑒 2
                                                       # »
                                                                  =
                                                       𝐵𝐴. За начало     =
новой системы координат принята вершина 𝐴 параллелограмма, за
базис –– векторы #»
                  𝑒1
                    ′ 𝐴𝐷    =
                        # » #»′   # »
                           , 𝑒 2 𝐷𝐵 .           =
      Решение. Найдем координаты векторов #» ′ #»′
                                          𝑒 1 , 𝑒 2 в старом базисе:

#»
𝑒1
   ′    = # »
          𝐴𝐷     =
               𝐶𝐷 − 𝐶𝐴
                # » # »
                           − = 2 +
                              #»
                              𝑒1

+    #»   #»
     𝑒 2, 𝑒 2
             ′ #
               𝐷𝐵=»    #
                      𝐷𝐸
                         »
                          =2 =2
                              𝑒1 −
                              #»                                  C
    2
− #»𝑒 (рис. 2). Тогда матрица 𝐶 пе-
         2                             B
рехода⎛ к новому базису имеет вид
        = −12 −22
              ⎞


𝐶            ⎝       ⎠   . Координаты точ-                                E
ки 𝐴 относительно исходной систе-                                               D
мы координат –– это координаты ее
                # »
радиус-вектора 𝐸 𝐴     #»    =
                       𝑒 1 , то есть
                                                              A
𝐴   (1 0)
    , . Согласно .         (1 10)
                          формулы                                      Рис. 2
преобразования координат имеют
вид

                                        = −12       2 ⎠ ⎝𝑥 ⎠ + ⎝1⎠ ,
                            ⎛
                                𝑥
                                    ⎞       ⎛           ⎞⎛
                                                          ′ ⎞  ⎛ ⎞



                                                    −2 𝑦′       0
                            ⎝       ⎠       ⎝
                                𝑦


то есть
                                        𝑥   = −2 ′ + 2 ′ + 1
                                                    𝑥         𝑦   ,

                                        𝑦   = ′−2 ′
                                                𝑥       𝑦 .


  Ответ. Старые координаты точки выражаются через новые по
формулам 𝑥 − 𝑥′    𝑦 = 2 +2 +1 =
                     ′ , 𝑦  𝑥 − 𝑦 .
                             ′    ′                           2
   Прямые, проходящие через начало координат в направлении ба-
зисных векторов, называются осями координат, а сами базисные век-
торы #»            #» –– единичными векторами этих осей. Как правило,
      𝑒 1, . . . , 𝑒  𝑛

координатные прямые на плоскости обозначают 𝑂𝑥 и 𝑂𝑦 , в трехмер-
ном пространстве –– 𝑂𝑥, 𝑂𝑦 , 𝑂𝑧 . Соответственно этому для системы
координат на плоскости используют обозначение 𝑂𝑥𝑦 , в трехмерном
пространстве –– 𝑂𝑥𝑦𝑧 .