Аффинные пространства. Скляренко В.А - 18 стр.

18                                                                                                      Аффинные пространства


                                                                      ···
                                                ⎛                                       ⎞
                                                      1         1                   1
                                                     𝑐1        𝑐2                  𝑐𝑛


                                            =
                                                ⎜
                                                ⎜ 2
                                                ⎜ 𝑐1
                                                                2
                                                               𝑐2     ···           2⎟
                                                                                   𝑐𝑛 ⎟
                                                                                        ⎟


                                        𝐶       ⎜
                                                ⎜    ..        ..     ...          ..   ⎟
                                                                                        ⎟
                                                ⎜     .         .                   .   ⎟

                                                                      ···
                                                ⎝                                       ⎠
                                                      𝑛         𝑛                   𝑛
                                                     𝑐1        𝑐2                  𝑐𝑛



–– матрица перехода от базиса #»    #» к базису #»
                              𝑒1... 𝑒
                                                   ′  #»′
                                                𝑒1... 𝑒 .                 𝑛                                        𝑛

   Поскольку 𝐶 –– невырожденная квадратная матрица, то

                                        𝑋
                                            ′ = 𝐶 −1 (𝑋 − 𝑋                         )                                          (1 12)
                                                                                   0 ,                                           .



как это следует из формулы . .                   (1 11)
                                   𝑣 ∈ V при изменении системы
   Заметим, что координаты вектора #»
координат преобразуются по закону

                                                                    ···            ′1 ⎞
                        ⎛           ⎞       ⎛                                      ⎞⎛
                                1                1         1                  1
                            𝑣                   𝑐1        𝑐2                𝑐𝑛              𝑣
                        ⎜  ⎟
                        ⎜ 2⎟
                        ⎜𝑣 ⎟
                                        =
                                            ⎜
                                            ⎜ 2
                                            ⎜ 𝑐1
                                                           2
                                                          𝑐2        ···      2 ⎟ ⎜ ′2 ⎟
                                                                               ⎟⎜
                                                                            𝑐 ⎟ ⎜𝑣 ⎟
                                                                              𝑛
                                                                                      ⎟

                        ⎜
                        ⎜
                           ⎟
                           ⎟ ..             ⎜
                                            ⎜   ..        ..        ...       ..   ⎟
                                                                                   ⎟
                                                                                        ⎜
                                                                                        ⎜   ..          ⎟
                                                                                                        ⎟,
                        ⎜  ⎟  .             ⎜    .         .                   .   ⎟    ⎜    .          ⎟

                                                                    ···
                        ⎝  ⎠                ⎝                                      ⎠    ⎝               ⎠
                            𝑣
                                𝑛                𝑛
                                                𝑐1
                                                           𝑛
                                                          𝑐2                𝑐𝑛
                                                                              𝑛
                                                                                            𝑣
                                                                                                ′   𝑛




где #»
     𝑣 =      1 #»
            𝑣 𝑒1   +  2 #»
                     𝑣 𝑒2   + +
                             ...
                                         #»
                                       𝑣 𝑒
                                                 𝑛
                                               𝑣 𝑒1       𝑛    =
                                                ′ 1 #»′ ′ 𝑣 2 #»
                                                              𝑒2
                                                                 ′ . . . 𝑣 ′ #»
                                                                             𝑒 .
                                                                                ′  +                         + +       𝑛
                                                                                                                           𝑛

   Систему координат 𝑂 #»        𝑒1... 𝑒
                                          #» будем называть «старой» или «ис-
                                                           𝑛

ходной», а систему 𝑂′ #»     ′       #»′
                           𝑒 1 . . . 𝑒 –– «новой» координатной системой. Ко-
                                                𝑛

ординаты точки (вектора) относительно систем координат 𝑂 #»                         #»
                                                                              𝑒1... 𝑒                                                𝑛

и 𝑂′ #» ′      #»′
     𝑒 1 . . . 𝑒 –– соответственно «старыми» и «новыми» координатами
               𝑛

этой точки (вектора).

   Пример 1.7. Написать формулы перехода к новой системе ко-
ординат на прямой, если за её начало принята точка 𝑂′ , а за ба-                                                   (5)
зисный вектор –– вектор 𝑂′ 𝐴, где 𝐴 . Координаты точек указаны в
                        # »
                                                                    (3)
старой системе координат.

     Решение. Пусть 𝑂 #»
                                                              # »′
                       𝑒 –– исходная система координат. Тогда 𝑂𝑂                                                                     =
=5   #»    =
        #»′ 𝑂
     𝑒, 𝑒
            # ′»
               𝐴       = 2
                 − #»𝑒 и согласно . 𝑥 − 𝑥′ .                        (1 10) = 2 + 5
     Ответ.    𝑥   = −2 ′ + 5 .
                        𝑥