Аффинные пространства. Скляренко В.А - 17 стр.

Аффинные замены координат                                                                                                                              17


                     =
   Итак, 𝑅 ̸ 𝑟, 𝑟 > 𝑚, следовательно плоскости скрещиваются.    Раз-
                                                                                                                                     =
                                                          ⟨       ⟩
мерность  пересечения направляющих     подпространств L     #» #»
                                                            𝑢, 𝑣    и
                                                        1
        =     равна 𝑘 𝑚 − 𝑟                      +                     =1
    ⟨       ⟩
L2    #» #»
      𝑝, 𝑞                     , то есть плоскости скрещиваются по
прямой.

                             )
         Ответ. 𝑎 плоскости пересекаются по точке;
𝑏   )   плоскости скрещиваются по прямой.

1.4. Аффинные замены координат
   Пусть 𝑂 #»
           𝑒1... 𝑒
                  #» и 𝑂′ #» ′       #»′
                           𝑒 1 . . . 𝑒 –– две системы координат в аффин-
                                             𝑛                                     𝑛

ном пространстве 𝒜 . Вторая система получена из первой переносом
начала координат из точки 𝑂 , . . . , в точку 𝑂′ 𝑥10 , . . . , 𝑥0 и выбо-  (0              0)                            (           𝑛
                                                                                                                                         )
ром векторов #» ′
              𝑒1... 𝑒
                      #»′ в качестве нового базиса в ассоциированном
                                                     𝑛

линейном пространстве V.
   Предположим, что
                    #»
                    𝑒1
                       ′ 𝑐1 #»
                            1𝑒1
                                       2 #»
                                      𝑐1 𝑒 2 ... =   #»
                                                  𝑐1 𝑒 ,                + + +                                 𝑛



                                               2 =                2 1+ 2 2+       +2
                                                                                                                    𝑛
                    #»
                    𝑒
                       ′ 𝑐1 #»
                             𝑒
                                       2 #»
                                      𝑐 𝑒    ...
                                                     #»
                                                  𝑐 𝑒 ,
                                                                                                              𝑛
                                                                                                                    𝑛

                                             ................................
                                             #»′ =
                                                                       1+      2+ +
                                                                  1 #»    2 #»                                 𝑛   #»
                                             𝑒   𝑛
                                                             𝑐𝑛 𝑒                  𝑐𝑛 𝑒             ...       𝑐𝑛 𝑒      𝑛.



   Тогда для каждой точки 𝑀 ∈ 𝒜 ее координаты 𝑥′ 1 , . . . , 𝑥′ в                                                                (            𝑛
                                                                                                                                                   )
системе координат 𝑂′ #» ′  #»′ связаны с ее координатами 𝑥1 , . . . , 𝑥
                     𝑒1... 𝑒                                               𝑛
                                                                                                                                     (                 𝑛
                                                                                                                                                           )
в системе 𝑂 #»    #» формулами
            𝑒1... 𝑒                          𝑛



                                     𝑥
                                      1
                                        =             1 ′ 1 + 𝑐1 𝑥′ 2 + . . . + 𝑐1 𝑥′
                                                     𝑐1 𝑥      2
                                                                                                              𝑛
                                                                                                                  +      1
                                                                                                                        𝑥0 ,

                                        =            𝑐 𝑥 + 𝑐 𝑥 + ... + 𝑐 𝑥                                        +
                                                                                                          𝑛
                                      2               2 ′1     2 ′2              2 ′                                     2
                                                                                                                                             (1 10)
                                                                                                              𝑛
                                     𝑥                1                    2                              𝑛
                                                                                                                        𝑥0 ,
                                                                                                                                               .
                                     ....................................

                                     𝑥
                                      𝑛
                                             =       𝑐1 𝑥
                                                         𝑛        ′ 1 + 𝑐 𝑥′ 2 + . . . + 𝑐 𝑥′
                                                                               𝑛
                                                                               2
                                                                                                          𝑛
                                                                                                          𝑛
                                                                                                               𝑛
                                                                                                                   +    𝑥0 .
                                                                                                                             𝑛




        Равенства             (1 10) удобно записывать в матричном виде
                                 .


                                              = ′+ 0                  𝑋            𝐶𝑋           𝑋 ,                                          (1 11)
                                                                                                                                               .

                 ⎛
                     𝑥
                         1
                             ⎞                       ⎛
                                                       ′1 ⎞
                                                          𝑥
                                                                                           ⎛
                                                                                                1
                                                                                               𝑥0
                                                                                                    ⎞


                                                     ⎜ ′2 ⎟
                 ⎜  ⎟                                ⎜    ⎟                                ⎜    ⎟
                 ⎜ 2⎟                                                                      ⎜ 2⎟

где      𝑋   =   ⎜𝑥 ⎟
                 ⎜
                 ⎜
                 ⎜
                    ⎟
                     ..
                    ⎟,
                    ⎟ .
                                     𝑋
                                         ′   =       ⎜𝑥 ⎟
                                                     ⎜
                                                     ⎜
                                                     ⎜
                                                             ..
                                                              .
                                                                      ⎟
                                                                      ⎟,
                                                                      ⎟
                                                                               𝑋0      =   ⎜ 𝑥0 ⎟
                                                                                           ⎜
                                                                                           ⎜
                                                                                           ⎜
                                                                                               ..
                                                                                                ⎟
                                                                                                ⎟
                                                                                                .
                                                                                                ⎟
                                                                                                        –– матрица-столбец коорди-
                 ⎝  ⎠                                ⎝                ⎠                    ⎝    ⎠
                     𝑥
                      𝑛
                                                          𝑥
                                                             ′    𝑛                             𝑛
                                                                                               𝑥0
                             # »′
нат вектора               𝑂𝑂         в базисе #»    #»
                                              𝑒1... 𝑒 , а                              𝑛