Аффинные пространства. Скляренко В.А - 15 стр.

Взаимное расположение плоскостей                                                                                                     15


                                                                  1 1 2 2  ⎛                     ⎞



                  𝑟   = rang{ #»   𝑎, 𝑏
                                        #»
                                             1, 𝑏
                                                 #»
                                                    2 } = rang    3 −1 1 0 = 3
                                                                           ⎜
                                                                           ⎜
                                                                                                 ⎟
                                                                                                 ⎟
                                                                                                                   ,

                                                                 −4 1 0 1
                                                                           ⎝                     ⎠




                                                                     0 1 3 3       ⎛                           ⎞




                 = rang{      #     » #»         #» #»
                                                         2 } = rang
                                                                     1 1 2 2 =3    ⎜
                                                                                   ⎜
                                                                                                               ⎟
                                                                                                               ⎟


                                                                     3 −1 1 0
                                                                                   ⎜                           ⎟
             𝑅                𝑀2   𝑀 , 𝑎,
                                    1            𝑏  1    , 𝑏                       ⎜                           ⎟           .
                                                                                   ⎜                           ⎟


                                                                    −4 1 0 1
                                                                                   ⎝                           ⎠




   Поскольку 𝑅                =
                 𝑟 > 𝑚, плоскость и прямая пересекаются. Для

нахождения общей точки представим уравнения прямой в парамет-
рическом виде
                                                 ⎧
                                                 ⎪
                                                 ⎪
                                                 ⎪
                                                   𝑥
                                                    1
                                                            = −1 + τ           ,

                                                            =3+τ
                                                 ⎪
                                                 ⎪
                                                 ⎪  2
                                                                                                                               (1 8)
                                                 ⎪
                                                 ⎨   𝑥                     ,

                                                 ⎪
                                                 ⎪
                                                 ⎪
                                                 ⎪
                                                   𝑥
                                                          3
                                                            = 3 + 2τ           ,
                                                                                                                                 .



                                                            = 3 + 2τ
                                                 ⎪
                                                 ⎪
                                                 ⎪
                                                 ⎩        4
                                                     𝑥                         .


        Из уравнений плоскости 𝒫 исключим параметры                                                          𝑡1 , 𝑡2   :
                            = −1 + 3 3 − 4 4
                                        ⎧
                                        ⎨𝑥
                                          1
                                                             (1 9)     𝑥           𝑥 ,
                          2
                            =2− 3+ 4    ⎩
                                             𝑥                     𝑥       𝑥 .
                                                                                                                                 .



   Подставляя равенства (1 8) в (1 9), получим систему
                                                 .                 .


                 −1 + τ = −1 + 3(3 + 2τ) − 4(3 + 2τ)
                          ⎧
                          ⎨                                                                          ,

                   3 + τ = 2 − (3 + 2τ) + (3 + 2τ)
                          ⎩
                                                                                             ,


откуда τ = −1, то есть (−2 2 1 1) –– общая точка прямой и плоско-
                                     𝑀               ,    ,    ,

сти.

                      )
         Ответ. 𝑎 прямая лежит в плоскости;
𝑏   )   прямая и плоскость пересекаются в точке                                          𝑀   (−2 2 1 1).
                                                                                                 ,       ,    ,



        Пример 1.6. Определить    взаимное расположение      плоскостей:
         )       = (0 0 0 0) + (1 1 1 1) (0 2 3 1)
                              , ,− ,−
                          ⟨                            ⟩
        𝑎  𝒫1    , , ,                    ,   , , ,     ,
                 = (1 3 2 0) + (0 0 1 1) (3 1 1 1)
                                         ,− , ,
                          ⟨                         ⟩
           𝒫2    , , ,       , , ,    ,              ;
         )       = (1 0 1 0 0) + ( 1 2 1 5 1) (3 1 1 0 4)
                 , ,− , ,         − , , , ,−        , ,− , ,
                               ⟨                               ⟩
        𝑏 𝒫1                                     ,              ,
                 = (0 3 1 1 7) + (5 4 1 5 7) (0 1 0 2 1)
                                 , ,− , ,
                            ⟨                             ⟩
           𝒫2    , , , ,                    ,   , , , ,    .