Аффинные пространства. Скляренко В.А - 14 стр.

14                                                                                                                Аффинные пространства

         ⎧
         ⎪
         ⎪
         ⎪
           = −1 + 3 1 − 4 2
           𝑥
            1
                                         𝑡           𝑡 ,

           =2− 1+ 2
         ⎪
         ⎪
         ⎪  2
   𝒫:
         ⎪
         ⎨       𝑥               𝑡            𝑡 ,
         3
         ⎪
         ⎪
         ⎪
         ⎪
           =1
           𝑥             𝑡 ,

           =2
         ⎪
         ⎪
         4
         ⎪
         ⎩
                 𝑥       𝑡 .



   Решение. ) Прямая проходит через точку
                             𝑎                                                                                            𝑀1   (−5 −3 4 −5) в
                                                                                                                                  ,           ,       ,

направлении вектора #» = (−5 −2 2 −4).        𝑎                   ,       ,       ,

   Решая, например методом Гаусса, систему уравнений, задающих
плоскость, получим

                                                        = 7 1 + 11 2 −
                                                   ⎧
                                                   ⎪
                                                   ⎪   1                                            1
                                                   ⎪
                                                   ⎪ 𝑥                𝑡               𝑡                 ,
                                                   ⎪

                                                        = −2 1 + 2 2
                                                   ⎪                                                2
                                                   ⎪
                                                   ⎪
                                                   ⎨  2
                                                     𝑥                    𝑡               𝑡 ,
                                                   ⎪
                                                   ⎪
                                                   ⎪
                                                   ⎪
                                                   ⎪ 𝑥
                                                      3
                                                        =61           𝑡 ,

                                                        =62
                                                   ⎪
                                                   ⎪
                                                   ⎪
                                                   ⎩  4
                                                     𝑥                𝑡 ,


откуда следует, что плоскость двумерна, 𝑚    , проходит через точ-                                      =2
                                                           000
                       (︂        )︂

ку 𝑀2 с координатами − , , , –– частное решение неоднородной
                          1

                          2
системы, а базис направляющего пространства образован вектора-
    #»
ми 𝑏 1   = (7 2 6 0)
          ,− , ,
                      #»
                    и 𝑏2       , , ,                 = (11 2 0 6)
                                     –– фундаментальной системой
решений соответствующей однородной системы уравнений.
   Определим ранги систем векторов:

                                                                   −5 −2 2 −4         ⎛                                    ⎞



                 𝑟   = rang{ #»          𝑎, 𝑏
                                              #»     #»
                                                   1, 𝑏 2 } = rang  7 −2 6 0 = 2      ⎜
                                                                                      ⎜
                                                                                                                           ⎟
                                                                                                                           ⎟
                                                                                                                                      ,

                                             11 2 0 6
                                                                                      ⎝                                    ⎠




                                               − −3 4 −5
                                                                                            ⎛                                     ⎞
                                                                                                        9




             = rang{ # 2 »1 #» #»1 #»2} = rang −75 −−22 26 −04 = 2
                                                                                            ⎜                                     ⎟
                                                                                            ⎜           2                         ⎟
                                                                                            ⎜                                     ⎟
                                                                                            ⎜                                     ⎟
         𝑅                     𝑀 𝑀 , 𝑎, 𝑏                     , 𝑏                           ⎜                                     ⎟               .
                                                                                            ⎜                                     ⎟


                                                11 2 0 6
                                                                                            ⎝                                     ⎠




      Так как = =    𝑅       𝑟  = 1, то ⊂ 𝒫.
                                         𝑚 > 𝑘                                ℓ

       ) Поскольку = 1 + #» , где 1(−1#» 3 #»3 3), #» = (1 1 2 2) ̸=
                                                          ⟨       ⟩
     𝑏                           ℓ            𝑀               𝑎                       𝑀             ,       ,     ,        𝑎              ,       ,       ,

̸=#» 0 , то есть = 1.#»Плоскость 𝒫 = 2 + 1 2 , где #»2(−#»1 2 0 0),
                                                                                                ⟨                     ⟩
                         𝑘                                                        𝑀                 𝑏       , 𝑏                 𝑀                 ,       ,   ,

𝑏   1 = (3 −1 1 0),
             ,       ,   2 = (−4 1 0 1), причем
                         ,           𝑏               = rang{ 1 2} = 2.
                                                           ,      ,   ,                                     𝑚                     𝑏       , 𝑏

Найдем 2 1 = (0 1 3 3),
            #    »
             𝑀 𝑀                     ,    ,    ,