Аффинные пространства. Скляренко В.А - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВлГУ | Владимир

Составители: 

Рубрика: 

12 Аффинные пространства
1.3. Взаимное расположение плоскостей
Пусть 𝒫
#» #»
и 𝒫
#» #»
–– две
плоскости в аффинном пространстве. Полагаем, что каждое из на-
правляющих пространств L
#» #»
и L
#» #»
за-
дано линейно независимой системой векторов, и .
Говорят, что плоскости 𝒫 и 𝒫 пересекаются, если они имеют
хотя бы одну общую точку.
Замечание 1.4. Если 𝒫 𝒫 или 𝒫 𝒫 , то плоскости
𝒫 𝒫 являются пересекающимися. При определении взаимного рас-
положения плоскостей эти случаи следует выделить особо.
Критерий наличия общих точек двух плоскостей сформулирован
в следующей теореме.
Теорема 1.2. Плоскости 𝒫 и 𝒫 пресекаются тогда и толь-
ко тогда, когда
# »
L L
Следует заметить, что пересечение плоскостей также является
плоскостью. Справедлива теорема.
Теорема 1.3. Если плоскости 𝒫 и 𝒫 пересекаются, то
их пересечение есть плоскость с направляющим подпростран-
ством L L .
Говорят, что плоскости 𝒫 и 𝒫 параллельны, если они не пере-
секаются и L L .
Плоскости 𝒫 и 𝒫 называют скрещивающимися, если они не
пересекаются и не параллельны.
Про скрещивающиеся плоскости 𝒫 и 𝒫 говорят, что они скре-
щиваются по подпространству L L .
Вопрос о взаимном расположении плоскостей 𝒫 и 𝒫 может
быть решен на основании значений рангов двух систем векторов:
12                                                             Аффинные пространства


1.3. Взаимное расположение плоскостей

                  =        +                           =        +
                     ⟨
   Пусть 𝒫1     𝑀1
                       #»           #» ⟩ и 𝒫
                       𝑎 1, . . . , 𝑎                     𝑀2
                                                               ⟨ #»            #» ⟩
                                                                  𝑏 1, . . . , 𝑏      –– две
                                           𝑘       2                            𝑚

плоскости в аффинном пространстве.                Полагаем,    что⟨ каждое из⟩ на-
                                       =                            =
                                      ⟨                 ⟩            #»            #»
правляющих пространств L1               #»           #»
                                        𝑎 1, . . . , 𝑎    и L2        𝑏 1, . . . , 𝑏     за-
дано линейно независимой системой векторов, и 𝑘 6 𝑚.
                                                        𝑘                           𝑚




   Говорят, что плоскости 𝒫1 и 𝒫2 пересекаются, если они имеют
хотя бы одну общую точку.

   Замечание 1.4. Если 𝒫1 $ 𝒫2 или 𝒫1          𝒫2 , то плоскости=
𝒫1 , 𝒫2 являются пересекающимися. При определении взаимного рас-
положения плоскостей эти случаи следует выделить особо.

   Критерий наличия общих точек двух плоскостей сформулирован
в следующей теореме.

   Теорема 1.2. Плоскости 𝒫1 и 𝒫2 пресекаются тогда и толь-
ко тогда, когда
                       𝑀1 𝑀2 ∈ L1
                       #   »
                                  L2 .            +
   Следует заметить, что пересечение плоскостей также является
плоскостью. Справедлива теорема.

   Теорема 1.3. Если плоскости 𝒫1 и 𝒫2 пересекаются, то
их пересечение есть плоскость с направляющим подпростран-
         ⋂︀
ством L1 L2 .

   Говорят, что плоскости 𝒫1 и 𝒫2 параллельны, если они не пере-
секаются и L1 ⊂ L2 .
   Плоскости 𝒫1 и 𝒫2 называют скрещивающимися, если они не
пересекаются и не параллельны.
   Про скрещивающиеся плоскости 𝒫1 и 𝒫2 говорят, что они скре-
                                   ⋂︀
щиваются по подпространству L1 L2 .
   Вопрос о взаимном расположении плоскостей 𝒫1 и 𝒫2 может
быть решен на основании значений рангов двух систем векторов:

Страницы