Аффинные пространства. Скляренко В.А - 10 стр.

10                                                                                                Аффинные пространства


                         1                             1    2      −2
                                 ⎛                                                                ⎞

                                 ⎜                                                                ⎟

                    rang −1                            21 −3 = 2
                                 ⎜                                                                ⎟
                                 ⎜                                                                ⎟
                                 ⎜                                                                ⎟       .
                                 ⎜                                                                ⎟
                                 ⎝
                                      𝑥
                                          1
                                              𝑥
                                                  2
                                                    −2 3−3 4+1 𝑥                  𝑥
                                                                                                  ⎠




  Выделенный минор отличен от нуля. Приравняем к нулю окайм-
ляющие его миноры третьего порядка:
             ⃒
             ⃒
               1            1             −2       ⃒
                                                   ⃒
                                                                       ⃒
                                                                       ⃒
                                                                        1             1      2                ⃒
                                                                                                              ⃒


              −1            2                 1 =0                     −1             2    −3 = 0
             ⃒                                     ⃒                   ⃒                                      ⃒
             ⃒                                     ⃒                   ⃒                                      ⃒
             ⃒                                     ⃒                   ⃒                                      ⃒
                                                           ,                                                      .

                            −2                −3                                        −2 +1
             ⃒                                     ⃒                   ⃒                                      ⃒
             ⃒                                     ⃒                   ⃒                                      ⃒
             ⃒ 𝑥1   𝑥
                        2
                                      𝑥
                                         3         ⃒                   ⃒ 𝑥1   𝑥
                                                                                      2    4
                                                                                                  𝑥           ⃒




Получим два линейно независимых уравнения, образующих искомую
систему              ⎧
                         5 1 + 2 + 3 3 = 11
                                          ⎨    𝑥           𝑥             𝑥                ,
                                                                                                                      (1 6)
                         7 1− 2−3 4 =1    ⎩
                                               𝑥           𝑥             𝑥            .
                                                                                                                        .




             𝒫:
                5 1
                    +
                    ⎧
                    ⎨
                      2
                        +
                        𝑥 3 3
                              = 11   𝑥            𝑥                ,
Ответ.
                7 1− 2−3 4 =1
                    ⎩
                        𝑥            𝑥            𝑥            .



   Замечание 1.2. Понятно, что, выбрав изначально другой отлич-
ный от нуля минор, получим в качестве ответа другую систему, но
равносильную . .    (1 6)
    Замечание 1.3. Геометрический смысл перехода от параметри-
                                (1 3)
ческих уравнений . к системе . состоит в том, что на плоско-   (1 4)
сти выбираются 𝑘 новых параметров –– 𝑥 1 , . . . , 𝑥 𝑘 из числа координат     𝑖                   𝑖


 1
𝑥 , . . . , 𝑥 её точек, а параметры 𝑡1 , . . . ,𝑡 исключаются из системы.
         𝑛
                                                                                  𝑘




   Пример 1.4. Определить размерность плоскости 𝒫, заданной
системой линейных уравнений
                        ⎧
                        ⎪
                        ⎪
                        ⎪
                                  3 1−2 2+5 3+4 4+2
                                     𝑥            𝑥            𝑥              𝑥
                                                                                              5
                                                                                              𝑥 =1    ,

                                        + 2−2 3−3 4+5                                           =0
                        ⎪
                        ⎪
                        ⎪
                        ⎪
                        ⎨
                                      1                                                       5
                                         𝑥        𝑥            𝑥              𝑥               𝑥       ,

                        ⎪
                        ⎪
                        ⎪
                        ⎪
                                7 1 − 8 2 + 19 3 + 18 4 − 4
                                 𝑥            𝑥            𝑥                  𝑥
                                                                                              5
                                                                                              𝑥 =3    ,

                                 5 1 − 5 2 + 12 3 + 11 4 −                                      =2
                        ⎪
                        ⎪
                        ⎪
                        ⎩                                                                     5
                                  𝑥            𝑥               𝑥              𝑥               𝑥       .


     Составить параметрические уравнения этой плоскости.