Аффинные пространства. Скляренко В.А - 8 стр.

8                                                                                                             Аффинные пространства


этой плоскости. Базис в направляющем подпространстве образуют
векторы фундаментальной системы решений однородной системы.

   Согласно теореме 1.1 гиперплоскость может быть задана одним
линейным уравнением вида

                                    𝐴1 𝑥
                                            1
                                                + +     ...              𝐴𝑛 𝑥
                                                                                     𝑛
                                                                                         + =0𝐵            ,



где   ( 1)2 + ( )2 ̸= 0, а прямая –– системой из ( − 1)-го уравнения:
       𝐴       ...      𝐴𝑛                                                                                        𝑛


                𝑥
                 = =
                    1
                        −     1
                             𝑥0
                                   ( 1)2 + + ( )2 ̸= 0
                                    ...
                                                𝑥
                                                    𝑛
                                                        −  (1 5)
                                                                 𝑛
                                                                𝑥0
                                                                     ,           𝑏            ...                 𝑏
                                                                                                                      𝑛
                                                                                                                              .               .
                        𝑏
                         1                              𝑏
                                                            𝑛




   Уравнения (1 5) называются каноническими уравнениями пря-
                             .

мой. Они могут быть получены из параметрических уравнений (1 3),                                                                              .

где = 1, исключением параметра и определяют прямую, проходя-
      𝑘                                                                   𝑡

щую через точку ( 10       )                          =( 1    ).
                                                   #»
                         0   в направлении
                                  𝑥 ,...,𝑥 вектора
                                                𝑛
                                                                                                                          𝑏       𝑏 ,...,𝑏
                                                                                                                                                  𝑛



   Так, канонические уравнения прямой из примера 1.1, ) имеют                                                                     𝑎

вид
                                    𝑥
                                        1
                                            =   𝑥
                                                    2
                                                        −   1
                                                                 =       𝑥
                                                                             3
                                                                                 −   2
                                                                                         =    𝑥
                                                                                                  4
                                                                                                      −   3
                                                                                                              .
                                    2                   3                        4                    5



   Пример 1.2. Найти уравнение гиперплоскости 𝒫, проходящей
                        (1 0 1 0) (3 1 2 3) (4 0 0 1) (2 2 3 1)
через точки 𝐴 , , , , 𝐵 , , , , 𝐶 , , , , 𝐷 , , , .

      Решение. Векторы 𝐴𝐵
                          # »
                                 , , ,
                                           # »
                                         , 𝐴𝐶     , ,− ,    = (2 1 1 3)                                   = (3 0 1 1) и               # »
                                                                                                                                      𝐴𝐷          =
= (1 2 2 1)
       , , , –– линейно независимы, так как ранг матрицы

                                                        2 1 1 3
                                                ⎛                                        ⎞




                                                        3 0 −1 1
                                                ⎜                                        ⎟
                                                ⎜                                        ⎟
                                                ⎜                                        ⎟
                                                ⎜                                        ⎟,

                                                        1 2 2 1
                                                ⎝                                        ⎠




составленной из их координат, равен 3 (выделенный минор отличен
от нуля). Следовательно, данные точки определяют плоскость раз-
мерности 3 в четырехмерном пространстве. Точка 𝑀 𝑥1 , . . . , 𝑥 при-                                                      (           𝑛
                                                                                                                                          )
надлежит плоскости 𝒫 тогда и только тогда, когда вектор 𝐴𝑀
                                                               # »
                                                                                                                                                  =
=(  1
           1
   𝑥 − ,𝑥 ,𝑥 − ,𝑥
           2  3     4
                             1 )
                      принадлежит её направляющему подпростран-
           =
         ⟨ # » # » # »⟩
ству L    𝐴𝐵, 𝐴𝐶 , 𝐴𝐷 , то есть