Аффинные пространства. Скляренко В.А - 6 стр.

6                                                                            Аффинные пространства


                                                                   (
   Если в выбранной системе координат 𝑀 𝑥1 , . . . , 𝑥 , 𝑀0 𝑥10 , . . . , 𝑥0       𝑛
                                                                                     )   (                          𝑛
                                                                                                                        )
  #»
и 𝑏  𝑖   =(
          1
         𝑏 ,...,𝑏
              𝑖
                  , 𝑖 𝑛
                      𝑖
                          ) =12
                        , , . . . , 𝑘 , то равенство  . , записанное в           (1 2)
координатной форме, представляет собой систему уравнений

                                       = 10 + 11 1 + + 1
                              ⎧
                              ⎪  1
                              ⎪
                              ⎪ 𝑥              𝑥    𝑏 𝑡     ...    𝑏𝑘 𝑡𝑘 ,

                                       = 20 + 21 1 + + 2
                              ⎪
                              ⎪

                                                                                                              (1 3)
                              ⎪
                              ⎨  2
                                𝑥              𝑥    𝑏 𝑡     ...    𝑏𝑘 𝑡𝑘 ,
                                                                                                                .
                              ⎪
                              ⎪ . . . . . . . . . . . . . . . . .

                                       = 0 + 1 1+ +
                              ⎪
                              ⎪
                              ⎪
                              ⎪
                              ⎩   𝑛     𝑛     𝑛              𝑛
                                𝑥              𝑥     𝑏 𝑡    ...        𝑏𝑘 𝑡𝑘 .



    Таким образом, чтобы получить параметрические уравнения
𝑘 -мерной плоскости 𝒫 в заданной системе координат, нужно знать

                               координаты какой-либо точки
                               𝑀0 ∈ 𝒫 и координаты 𝑘 линейно
             #»
               2
                  P
                  b            M
                               независимых векторов, компланар-
                  #»
                          b    ных этой плоскости. Достаточно,
         M
         0
                     1
                               например, указать координаты
                               𝑘   O                       +1
                                      точек 𝑀0 , 𝑀1 , . . . , 𝑀 этой                                  𝑘

                               плоскости, выбранных так, чтобы
                                        #   » #     »          #   »
             Рис. 1            векторы 𝑀0 𝑀1 , 𝑀0 𝑀2 , . . . , 𝑀0 𝑀                                                     𝑘

                               были линейно независимы.

    Пример 1.1. Составить параметрические уравнения:
    𝑎  )прямой ℓ, проходящей через две данные точки 𝐴                                    (0 1 2 3) и
                                                                                             ,    ,       ,

𝐵   ( 4 5 6 7)
    − ,− ,− ,− ;
      )
    𝑏 плоскости 𝒫, проходящей через три данные точки 𝐴                                    (1 0 1 2 0)
                                                                                                 , , , ,                ,

𝐵   (0 2 0 1 1) (2 2 1 3 1)
     , , , , , 𝐶 ,− , , ,− .

                      )
   Решение. 𝑎 Поскольку вектор 𝐴𝐵
                                  # »
                                         − , − , − , − ̸ , то     = ( 4 6 8 10) = 0
𝐴𝐵 , как и любой коллинеарный ему вектор 𝑏 ̸
# »                                      #»
                                              , может быть взят        =0
за направляющий вектор прямой. Пусть, например, 𝑏
                                                 #»
                                                       , , ,  .В           = (2 3 4 5)
качестве точки 𝑀0 выберем любую из точек 𝐴 или 𝐵 . Так, взяв точ-
                      (1 3)
ку 𝐴, согласно . получим искомые параметрические уравнения
прямой
                                                   ⎧
                                                   ⎪ 𝑥
                                                      1
                                                        =2  𝑡,

                                                        =1+3
                                                   ⎪
                                                   ⎪
                                                   ⎪
                                                      2
                                           :
                                                   ⎪
                                                   ⎨
                                                     𝑥            𝑡,
                                       ℓ
                                                   ⎪
                                                   ⎪ 𝑥
                                                      3
                                                        =2+4      𝑡,

                                                        =3+5
                                                   ⎪
                                                   ⎪
                                                   ⎪
                                                   ⎩  4
                                                     𝑥            𝑡,