Аффинные пространства. Скляренко В.А - 5 стр.

Плоскости в аффинном пространстве                                                                      5


1.2. Плоскости в аффинном пространстве
   Пусть L линейное подпространство размерности 𝑘 < 𝑛 в линейном
пространстве V, ассоциированном с 𝒜 , и 𝑀0 –– фиксированная точка
в 𝒜.

   Определение 1.2. Совокупность точек 𝑀 ∈ 𝒜 таких, что век-
тор 𝑀0 𝑀 ∈ L, называется 𝑘-мерной плоскостью 𝒫, проходящей
    # »
через точку 𝑀0 в направлении подпространства L.

   Так, нуль-мерная плоскость есть точка. Одномерные плоскости
называются прямыми, плоскости размерности 𝑛 − –– гиперплоско-                          1
стями.
   Условимся говорить, что векторы из направляющего подпро-
странства L компланарны плоскости 𝒫.
   Заметим, что понятие плоскости удовлетворяет определению 1.1,
где в качестве носителя взято 𝒫, L –– ассоциированное линейное про-
странство, а отображение 𝒫 ×𝒫 → L является сужением ϕ на 𝒫 ×𝒫.
Поэтому плоскость 𝒫 ⊂ 𝒜 называют аффинным подпростран-
ством 𝒜 .
   Если направляющее подпространство L плоскости              задано как⟩ ли-
                                                                                 =
                                      #»                   ⟨     #»
                                   #»      #»
нейная оболочка векторов 𝑎 , 𝑏 , . . . , 𝑐 , то есть L       #»              #»
                                                             𝑎 , 𝑏 , . . . , 𝑐 , то

                                                                  =       +
                                                    ⟨
плоскость будем записывать в виде 𝒫 𝑀0                #» #»
                                                      𝑎, 𝑏 ,..., 𝑐 .
                                                                    #»⟩
           #» #»             #»
   Пусть 𝑏 1 , 𝑏 2 , . . . , 𝑏 –– линейно независимая система векторов в
L. Тогда совокупность всех точек 𝑀 ∈ 𝒫 описывается уравнением
                                𝑘




                        #
                        𝑀0 𝑀
                            »
                                =     #»
                                    𝑡1 𝑏   1       +     #»
                                                       𝑡2 𝑏   2   + ··· +       #»
                                                                              𝑡𝑘 𝑏   𝑘,          (1 1)
                                                                                                   .



где 𝑡1 , . . . , 𝑡 принимают все значения из множества R действитель-
                𝑘

ных чисел.
   Пусть в 𝒜 выбрана система координат с началом в точке 𝑂. По-
                    =                              (1 1)
скольку 𝑀0 𝑀 𝑂𝑀 − 𝑂𝑀0 , уравнение . равносильно уравнению
             # » # » # »

                    # »
                    𝑂𝑀      =#  𝑂𝑀  0+ 1 1+ 2 2+
                                    »     #»
                                               𝑡
                                                 #»
                                                   𝑏      + #»𝑡   𝑏   ...(1 2)  𝑡𝑘 𝑏   𝑘,          .



где 𝑡1 , . . ., 𝑡 ∈ R (рис. 1, 𝑘
            𝑘                       = 2). Равенство (1 2) называют векторным
                                                                      .

параметрическим уравнением                              𝑘   -мерной плоскости; числа        𝑡1   , ...,
𝑡 –– параметрами.
𝑘