Аффинные пространства. Скляренко В.А - 7 стр.

Плоскости в аффинном пространстве                                                                                                     7


где     𝑡   ∈ (−∞ ∞).,

    ) Компланарные плоскости векторы
        𝑏
                                      # »
                                          = (−1 2 −1 −1 1) и                              𝐴𝐵          ,       ,       ,     ,
# »
𝐴𝐶  = (1 −2 0 1 −1) линейно независимы, поэтому заданные точ-
                 ,       ,   ,   ,

ки однозначно определяют двумерную плоскость, проходящую через
точку в направлении подпространства L =
                                          # » # »                                                ⟨        ⟩
             𝐴                                     :                                             𝐴𝐵, 𝐴𝐶


                             1
                               =1− 1+ 2              ⎧
                                                     ⎪ 𝑥                        𝑡          𝑡 ,

                               =2 1−2 2
                                                     ⎪
                                                     ⎪
                                                     ⎪
                             2                       ⎪
                                                     ⎪
                                                     ⎪ 𝑥                    𝑡         𝑡 ,

                    𝒫:         =1− 1
                                                     ⎪
                                                     ⎨
                             3
                                                           𝑥                    𝑡 ,
                             4
                               =2− 1+ 2              ⎪
                                                     ⎪
                                                     ⎪
                                                     ⎪
                                                     ⎪ 𝑥                        𝑡          𝑡 ,

                               = 1− 2
                                                     ⎪
                                                     ⎪
                             5                       ⎪
                                                     ⎩
                                                           𝑥            𝑡           𝑡 ,


где 1 2 ∈ (−∞ ∞)
        𝑡 ,𝑡                 ,       .



   Ответ.   ) : 1 = 2 2 = 1+3 3 = 2+4 4 = 3+5;
                     𝑎       ℓ       𝑥             𝑡, 𝑥                             𝑡, 𝑥              𝑡, 𝑥                            𝑡

𝑏) 𝒫: 1 = 1− 1+ 2 2 = 2 1−2 2 3 = 1− 1 4 = 2− 1+ 2 5 =
             𝑥               𝑡       𝑡 , 𝑥             𝑡       𝑡 , 𝑥                         𝑡 , 𝑥                𝑡       𝑡 , 𝑥

= 1 − 2.
    𝑡        𝑡

   Другой способ определить плоскость в 𝑛-мерном аффинном про-
странстве –– задать её системой линейных уравнений

                                                   =                    =1 2                                                    (1 4)
                                      𝑛
                                     ∑︁
                                           𝑗   𝑖           𝑗
                                          𝑎𝑖 𝑥         𝑐 ,         𝑗            ,     , . . . , 𝑚.                                .
                                     =1
                                     𝑖




                                                                                             (1 4)
                                          (︁                       )︁
   При этом решения 𝑥1 , . . . , 𝑥 системы . понимают как ко-  𝑛



ординаты точки аффинного пространства в фиксированной системе
координат. Связь плоскостей с системами линейных уравнений уста-
навливает

   Теорема 1.1. Пусть    .                          (1 4)
                            есть совместная система ран-
га 𝑟. Тогда множество ее решений есть плоскость 𝑛-мерного
пространства, имеющая размерность 𝑘 𝑛 − 𝑟. Обратно, вся-                                    =
кая 𝑘-мерная плоскость в 𝑛-мерном аффинном пространстве
есть множество всех решений некоторой системы линейных
уравнений ранга 𝑟 𝑛 − 𝑘 вида . .     =                         (1 4)
   Замечание 1.1. Если плоскость задана системой . , то множе-                                        (1 4)
ство решений соответствующей однородной системы образует линей-
ное пространство. Оно является направляющим подпространством