Аффинные пространства. Скляренко В.А - 9 стр.

Плоскости в аффинном пространстве                                                                                      9

                                ⎛
                                         2    1 1 3                                    ⎞




                   rang
                                ⎜
                                ⎜
                                         3    0 −1 1 = 3                               ⎟
                                                                                       ⎟


                                         1    2 2 1
                                ⎜                                                      ⎟
                                ⎜                                                      ⎟               .
                                ⎜                                                      ⎟


                                           −1 2 3−1 4
                                ⎝                                                      ⎠
                                         1
                                    𝑥            𝑥       𝑥                    𝑥



   Последнее равносильно тому, что
                            ⃒
                            ⃒
                                    2      1 1 3                              ⃒
                                                                              ⃒


                                    3      0 −1 1 = 0
                            ⃒                                                 ⃒
                            ⃒                                                 ⃒
                            ⃒                                                 ⃒


                                    1      2 2 1
                            ⃒                                                 ⃒
                            ⃒                                                 ⃒            .
                            ⃒                                                 ⃒


                                        −1 2 3−1 4
                            ⃒                                                 ⃒
                            ⃒                                                 ⃒
                            ⃒ 𝑥1             𝑥       𝑥                    𝑥   ⃒




Раскрывая определитель, получим искомое уравнение гиперплоско-
сти
              −5            − 1 + 13 2 − 12                               −1 +3 4 =0
                   (︁               )︁                       (︁                   )︁
                        1                                             3
                        𝑥                    𝑥                    𝑥                            𝑥           ,


или
                   5 1 − 13 2 + 12 3 − 3 4 − 17 = 0
                        𝑥                𝑥           𝑥             𝑥                               .



   Ответ.    𝒫 : 5 1 − 13 2 + 12 3 − 3 4 − 17 = 0.
                   𝑥                𝑥            𝑥           𝑥




   Пример 1.3. Найти систему линейно независимых уравнений,
определяющую плоскость
                                         ⎧
                                         ⎪
                                         ⎪
                                         ⎪
                                           𝑥
                                            1
                                               = 1− 2𝑡            𝑡 ,

                                               =2+ 1+2 2
                                         ⎪
                                         ⎪
                                         ⎪  2
                                    :
                                         ⎪
                                         ⎨   𝑥                𝑡               𝑡 ,
                            𝒫            ⎪
                                         ⎪
                                         ⎪
                                         ⎪
                                           𝑥
                                             3
                                               =3−2 1+ 2          𝑡           𝑡 ,

                                               = −1 + 2 1 − 3 2
                                         ⎪
                                         ⎪
                                         ⎪
                                         ⎩   4
                                             𝑥                            𝑡            𝑡 .



   Решение. Плоскость 𝒫 проходит через точку𝑀0 , , , − . Ее                                                (0 2 3 1)
направляющее подпространство образовано двумя линейно независи-
мыми векторами 𝑏 1
                    #»
                            = (1 1 2 2)
                            , ,− ,
                                      #»
                                    , 𝑏2                          = ( 1 2 1 3)
                                           − , , , − . Поэтому плос-
кость является двумерной в четырехмерном пространстве и согласно
теореме 1.1 задается системой двух линейно независимых уравнений.
         (                  )
Точка 𝑀 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , 𝑥4 принадлежит плоскости тогда и только тогда,
                 #» #» # »
когда векторы 𝑏 1 , 𝑏 2 , 𝑀0 𝑀 линейно зависимы, то есть