Аффинные пространства. Скляренко В.А - 11 стр.

Плоскости в аффинном пространстве                                                                                                                                                           11


   Решение. Чтобы ответить на первый вопрос задачи, достаточно
найти ранг матрицы 𝐵 коэффициентов системы и ранг ее расши-
ренной матрицы 𝐵 . Если         𝐵 ̸     𝐵 , то система несовместна              rang = rang
и никакой плоскости не определяет. Если же         𝐵        𝐵   𝑟,                                                                                     rang = rang =
то согласно теореме 1.1 множество ее решений определяет плоскость
размерности 𝑘                                =5
                    − 𝑟 в пятимерном пространстве.
   В данном случае         𝐵        𝐵    , и, следовательно, 𝑘   . rang = rang = 2                                                                                                    =3
Выберем   в ⃒качестве базисного минора угловой верхний левый ми-
                 3 −2 ≠ 0.
     ⃒
             ⃒                     ⃒
             ⃒                     ⃒
                                                                                                                              1         2                                     3   4     5
нор
                 1 1                                      Тогда неизвестные                                                                 –– базисные, а                                  ––
             ⃒                     ⃒
             ⃒                     ⃒                                                                                      𝑥 ,𝑥                                           𝑥 ,𝑥 ,𝑥
             ⃒                     ⃒

свободные. Найдем общее решение равносильной системы из двух
независимых уравнений
                                                      ⎧
                                                      ⎨   3 1 − 2 2 = −5 3 − 4 4 − 2 5 + 1
                                                              𝑥             𝑥                             𝑥                   𝑥                 𝑥           ,

                                                      ⎩       1
                                                                + 2 =2 3+3 4−5 5
                                                                  𝑥         𝑥                     𝑥                   𝑥                     𝑥 .



         Искомое решение имеет вид
                                                              ⎧
                                                              ⎪
                                                              ⎪
                                                              ⎪
                                                              ⎪
                                                              ⎪
                                                              ⎪
                                                              ⎪
                                                                𝑥
                                                                 1
                                                                         = − 1+ 2− 3
                                                                                1

                                                                                5
                                                                                             1

                                                                                             5
                                                                                                  𝑡
                                                                                                                  2

                                                                                                                  5
                                                                                                                      𝑡
                                                                                                                                       12

                                                                                                                                       5
                                                                                                                                            𝑡 ,


                                                                         =− + 1+ 2−
                                                              ⎪
                                                              ⎪
                                                              ⎪
                                                              ⎪
                                                              ⎪   2                 1             11                      13                    13
                                                              ⎨𝑥                                          𝑡                        𝑡                 𝑡3 ,
                                                                                                                                                                                      (1 7)
                                                              ⎪


                                                                         =1
                                                                                    5                 5                    5                    5
                                                                       3                                                                                                                .
                                                              ⎪
                                                              ⎪ 𝑥               𝑡 ,
                                                              ⎪

                                                                         =2
                                                              ⎪
                                                              ⎪
                                                              ⎪
                                                              ⎪
                                                              ⎪
                                                                       4
                                                              ⎪
                                                              ⎪
                                                                𝑥               𝑡 ,

                                                                         =3
                                                              ⎪
                                                              ⎪
                                                              ⎪
                                                              ⎩        5
                                                                   𝑥            𝑡 .



   Равенства . есть параметрические        (1 7)
                                        уравнения  плоскости 𝒫. За-
                                                                                                                      000
                           (︂            )︂

                                ,− , , ,
                              1   1
метим, что частное решение                  задает набор координат
                                                                                                  5            5

                             − 0 0 0 ∈ 𝒫, а фундаментальная система решений
                              (︂                                       )︂
                                   1          1
точки                𝑀0                ,          ,       ,    ,
                                   5       )︂ 5(︂

                          100       0 1 0 − − 0 0 1 соответствующей од-
(︂                                                                                  )︂       (︂                                                   )︂

     −   1

         5
             ,
                 11

                 5
                      ,   ,        ,         ,
                                                      2

                                                      5
                                                          ,
                                                              13

                                                              5
                                                                   ,    ,   ,            ,
                                                                                                      12

                                                                                                          5
                                                                                                              ,
                                                                                                                          13

                                                                                                                          5
                                                                                                                               ,       ,    ,

нородной системы образует базис в направляющем подпространстве
плоскости 𝒫 .

         Ответ.                        𝒫     :       = − 1+
                                                      𝑥
                                                          1             1

                                                                        5
                                                                                    1

                                                                                    5
                                                                                        𝑡
                                                                                                      2

                                                                                                      5
                                                                                                              𝑡2   −       12

                                                                                                                              5
                                                                                                                                   𝑡3 , 𝑥
                                                                                                                                                2
                                                                                                                                                       =− +     1

                                                                                                                                                                5
                                                                                                                                                                    11

                                                                                                                                                                    5
                                                                                                                                                                         𝑡1   +   13

                                                                                                                                                                                  5
                                                                                                                                                                                       𝑡2   −
−    13

         5
             𝑡3 , 𝑥
                          3
                              =        𝑡1 , 𝑥
                                                  4
                                                    = 2 5 = 3.𝑡 , 𝑥                  𝑡