Аффинные пространства. Скляренко В.А - 13 стр.

Взаимное расположение плоскостей                                                                                                                                           13

                                                                                          {︂                                                                  }︂

   { #»𝑎   1
                     #» #»
               ,..., 𝑎 , 𝑏      𝑘       1, . . . 𝑏 𝑚
                                                             #»
                                                                      }           и
                                                                                                  #
                                                                                                  𝑀1
                                                                                                        » #»
                                                                                                       𝑀 , 𝑎      2    1
                                                                                                                                 #» #»
                                                                                                                           ,..., 𝑎 , 𝑏 𝑘
                                                                                                                                                      #»
                                                                                                                                             1, . . . , 𝑏 𝑚        .



   Напомним, что рангом системы векторов называется макси-
мальное число линейно независимых векторов этой системы.
   Пусть

                                                rang{ #»1     𝑎 , . . . , 𝑎 𝑘, 𝑏
                                                                                      #» #»
                                                                                                      1, . . . 𝑏 𝑚
                                                                                                                      #»
                                                                                                                           }=     𝑟,


                                rang                                                                                                   =
                                                {︂                                                                                }︂
                                                     #            » #»
                                                     𝑀1 𝑀2 , 𝑎 1 , . . . , 𝑎 𝑘 , 𝑏
                                                                                              #» #»                         #»
                                                                                                              1, . . . , 𝑏 𝑚                𝑅.




   Тогда сформулированное в теореме 1.2 условие 𝑀1 𝑀2 ∈ L1 L2 ,
                                                   #   »
                                                                                                                                                              +
необходимое и достаточное для пересечения плоскостей, равносильно
                            =
условию 𝑅 𝑟. В этом случае размерность плоскости 𝒫1 ∩ 𝒫2 равна
𝑘 + 𝑚 − 𝑟 . В частности, при 𝑟      𝑘   𝑚 пересечением плоскостей                         = +
является точка. Если 𝑅 𝑟 и к тому же 𝑟 𝑚, то есть L1 ⊂ L2 , то    =                                                        =
𝒫1 ⊂ 𝒫2 . Совпадению плоскостей отвечает случай 𝑅 𝑟 𝑚 𝑘.                                                                                     = = =
                        =
   Если 𝑅 ̸ 𝑟, то есть 𝑅 𝑟      , то плоскости либо скрещиваются,     = +1
либо параллельны. При условии 𝑅 ̸ 𝑟 параллельность плоскостей                                         =
имеет место тогда и только тогда, когда 𝑟 принимает свое минималь-
ное значение: 𝑟 𝑚.                  =
   Подытожим сказанное таблицей
                                        𝑅 = 𝑟                                                                                          𝑅 = 𝑟 +1

           𝑟 > 𝑚                                    𝑟 = 𝑚 > 𝑘                     𝑟 = 𝑚 = 𝑘                                    𝑟 > 𝑚                𝑟 = 𝑚          >       𝑘

 𝒫1 и 𝒫2 –– пересека-                                                                                             𝒫1 и 𝒫2 скрещи-
 ются по плоскости                                                                                                ваются по подпро-
 размерности
                                                     𝒫1      $ 𝒫2                 𝒫1      ≡ 𝒫2                    странству L1 ∩ L2 раз-
                                                                                                                                                     𝒫1    ‖ 𝒫2
 𝑚+𝑘       −    𝑟                                                                                                 мерности 𝑚 + 𝑘 − 𝑟



   Пример 1.5. Определить взаимное расположение прямой                                                                                                                 ℓ   и
плоскости 𝒫. В случае пересечения найти их общую точку.
   ) : 1 = −5 − 5 2 = −3 − 2
   𝑎       ℓ        𝑥                                     𝑡, 𝑥                                    𝑡, 𝑥
                                                                                                              3
                                                                                                                  =4+2           𝑡, 𝑥
                                                                                                                                        4
                                                                                                                                            = −5 − 4 ; 𝑡



𝒫:
       2 1
           −
           ⎧
           ⎨ 11  2
                   −𝑥6 3
                         +1=0       𝑥                     𝑥                           ,

       2 1 + 7 2 − 6 4 + 1 = 0;
           ⎩
                    𝑥               𝑥                    𝑥



   ) :       = − = − = −
                    1                       2                         3                       4
                𝑥       +1              𝑥             3           𝑥           3           𝑥           3
   𝑏   ℓ                                                                                                  ,
                        1                       1                         2                       2