Аффинные пространства. Скляренко В.А - 4 стр.

4                                                              Аффинные пространства


1. Аффинные пространства
1.1. Определение 𝑛-мерного аффинного пространства.
     Аффинная система координат
   Пусть 𝒜 –– некоторое множество, элементы которого будем назы-
вать точками, V –– 𝑛-мерное линейное пространство над полем дей-
                                 :
ствительных чисел и ϕ 𝒜 × 𝒜 → V –– отображение, которое каждой
упорядоченной паре точек 𝑀, 𝑁 ∈ 𝒜 ставит в соответствие вектор
#»
𝑎   = (            )
     ϕ 𝑀, 𝑁 ∈ V. Условимся обозначать ϕ 𝑀, 𝑁
                                                 # »
                                                 𝑀𝑁.       (   )=
   Определение 1.1. Множество 𝒜 называется 𝑛-мерным аффин-
ным пространством, если выполняются следующие условия:
  1. Для любой точки 𝑀 ∈ 𝒜 и любого вектора #»  𝑎 ∈ V найдется,

     причем только одна, точка 𝑁 ∈ 𝒜 такая, что 𝑀 𝑁
                                                # » #»
                                                      𝑎.                 =
    2. Для любых трех точек            𝑀, 𝑁, 𝐾     ∈   𝒜 справедливо равенство:
       𝑀𝑁   𝑁𝐾 +
       # » # » # »
                  𝑀 𝐾.  =
   В этом случае V называют линейным пространством, ассоци-
ированным с аффинным пространством 𝒜 .

     В частности, прямая, плоскость и пространство, изучаемые в эле-
ментарной геометрии, являются аффинными пространствами раз-
мерности 𝑛         =1 =2 =3
                        ,𝑛      ,𝑛         соответственно.
     Аффинная система координат 𝑂 #»                                #» определяется в 𝒜
                                                              𝑒1... 𝑒

выбором точки 𝑂 ∈ 𝒜 и базиса #»
                                                               𝑛
                                                            #» в ассоциированном линей-
                                               𝑒 1, . . . , 𝑒
                                                       𝑛

ном пространстве V. Точка 𝑂 называется началом координат.
     Аффинными координатами точки 𝑀 ∈ 𝒜 в заданной аффин-
ной системе координат 𝑂 #»             𝑒1... 𝑒
                                              #» называется упорядоченный набор
(              ) действительных чисел –– координат вектора 𝑂𝑀 ∈ V в
                                           𝑛
   1       𝑛
                                                                                 # »
 𝑥 ,...,𝑥

базисе #»              #»
          𝑒 1, . . . , 𝑒 .

                                                               (              )
                        𝑛

     Координаты точки 𝑀 записывают в виде 𝑀 𝑥1 , . . . , 𝑥 .              𝑛



                   (1       1)
     Точку 𝐸 , . . . , называют единичной точкой данной системы
координат.
     Так, аффинная система координат на прямой –– 𝑂 #»
                                                                       #» #»
                                                                                    =0
                                                                             𝑒 , где 𝑒 ̸
                                                                                     #»  ;
аффинная система координат на плоскости –– 𝑂 𝑒 1 𝑒 2 , где векторы
#»    #»
𝑒 1 , 𝑒 2 не коллинеарны; аффинная система координат в трехмерном

пространстве –– 𝑂 #»          #» #»         #» #» #»
                          𝑒 1 𝑒 2 𝑒 3 , где 𝑒 1 , 𝑒 2 , 𝑒 3 –– некомпланарные векторы.