Аффинные пространства. Скляренко В.А - 16 стр.

16                                                                 Аффинные пространства


                   )                      (0 0 0 0) (1 3 2 0)
   Решение. 𝑎 По условию задачи 𝐴 , , , , 𝐵 , , , , 𝐴𝐵
                                                              # »
                                                                                                 =
= (1 3 2 0)
     , , ,   , а направляющие подпространства плоскостей 𝒫1 и 𝒫2
образованы векторами #»  𝑢  = (1 1 1 1) = (0 2 3 1)
                                , ,− ,−   , #»
                                            𝑣     , , ,  и вектора-
ми 𝑝#» = (0 0 1 1) = (3 1 1 1)
             , , ,
                      #»
                    , 𝑞    ,− , ,     соответственно. При этом 𝑘                                 =
= rang   #» #»= 2 = rang
       {𝑢, 𝑣 } , 𝑚                   =2
                           { 𝑝 , 𝑞 } , то есть плоскости двумерны.
                             #»  #»

                                         1 1 −1 −1       ⎛              ⎞




            = rang{ #» #» #» #»} = rang 00 20 31 11 = 4
                                                         ⎜              ⎟
                                                         ⎜              ⎟
                                                         ⎜              ⎟
              𝑟             𝑢, 𝑣 , 𝑝 , 𝑞                 ⎜              ⎟        ,
                                                         ⎜              ⎟


                                         3 −1 1 1
                                                         ⎝              ⎠




                                           1 3 2 0           ⎛              ⎞



                                           1 1 −1 −1         ⎜
                                                             ⎜
                                                                            ⎟
                                                                            ⎟


         = rang{                  } = rang 0 2 3 1 = 4
                                                             ⎜              ⎟
                  # » #» #» #» #»                            ⎜
                                                             ⎜
                                                                            ⎟
                                                                            ⎟
       𝑅                𝐴𝐵, 𝑢 , 𝑣 , 𝑝 , 𝑞                                                .

                                           0 0 1 1
                                                             ⎜              ⎟
                                                             ⎜              ⎟
                                                             ⎜              ⎟


                                           3 −1 1 1
                                                             ⎝              ⎠




   Так как 𝑅      =
                 𝑟 , то плоскости пересекаются по подпространству

                  +
размерности 𝑘 𝑚 − 𝑟                  =0
                           , то есть по точке.
    )                     = ( 1 2 1 5 1) = (3 1 1 0 4)
   𝑏 Заметим, что векторы 𝑢
                              #»     − , , , , −#» , #»𝑣     , ,− , ,

                                       = (5 4 1 5 7) =
линейно независимы, так же, как и векторы 𝑝             , ,− , , , #»
                                                                   𝑞

= (0 1 0 2 1)
    , , , , . То есть 𝒫1 и 𝒫2 –– двумерные плоскости в пятимерном
              ( = = 2) (1 0 1 0 0)
пространстве 𝑘 𝑚                         (0 3 1 1 7)
                          . 𝐴 , ,− , , ∈ 𝒫1 , 𝐵 , , , , ∈ 𝒫2 и
# »
𝐴𝐵   = ( 1 3 2 1 7)
       −, , , , .
   Определим ранги систем векторов:
                                                       ⎛
                                                        −1 2 1 5 −1      ⎞



                                             #»} = rang 3 1 −1 0 4 = 3
                                                       ⎜                 ⎟

              = rang   { #»𝑢 , #»𝑣 , #»𝑝 ,
                                                       ⎜                 ⎟


                                                         5 4 −1 5 7
                                                       ⎜                 ⎟
          𝑟                                  𝑞         ⎜                 ⎟           ,
                                                       ⎜                 ⎟


                                                           0 1    0 2    1
                                                       ⎝                 ⎠


                                                           ⎛
                                                            −1   3 2    1 7  ⎞

                                                           ⎜
                                                           ⎜
                                                            −1   2 1    5 −1 ⎟
                                                                             ⎟


          = rang{ #                              #»} = rang 3    1 −1   0 4 =4
                                                           ⎜                 ⎟
                         » #» #» #»                        ⎜
                                                           ⎜
                                                                             ⎟
                                                                             ⎟
      𝑅            𝐴𝐵, 𝑢 , 𝑣 , 𝑝 , 𝑞                                                         .

                                                             5   4 −1   5 7
                                                           ⎜                 ⎟
                                                           ⎜                 ⎟
                                                           ⎜                 ⎟


                                                             0   1 0    2 1
                                                           ⎝                 ⎠